【標準】中点の座標

ここでは、中点の座標について見ていきます。

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中点

2点 A, B があったとき、この中点 (midpoint)というのは、線分 AB 上の点で、両端からの距離が等しい点のことです。ちょうど真ん中にある点のことですね。

「2点 A, B の中点」といういい方もしますが、「線分 AB の中点」といういい方もします。どちらも同じものを指します。

中点の座標

2点 A, B の中点の座標がどうなるかを考えてみましょう。【基本】平面上での内分点と外分点の内容を使いまわして求めてみましょう。

中点を P とおくと、 $\mathrm{ AP=PB }$ です。これは、「点 P は、線分 AB を $1:1$ に内分する点」と言い換えることができます。よって、内分点の座標が使えます。

$\mathrm{ A }(x_1,y_1)$, $\mathrm{ B }(x_2,y_2)$ とすると、 P の座標は
\begin{eqnarray}
\left(\frac{1\cdot x_1+1\cdot x_2}{1+1}, \frac{1\cdot y_1+1\cdot y_2}{1+1}\right)
=
\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)
\end{eqnarray}と求めることができます。

例えば、 $(3,1)$, $(2,-2)$ の中点であれば
\begin{eqnarray}
\left(\frac{3+2}{2}, \frac{1-2}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray}となります。

足して2で割ったものが中点の座標になる、というのは覚えやすいですね。平均の形になっていますね。

おわりに

ここでは、内分点の座標の出し方を使って、中点の座標がどうなるかを見てきました。まとめておきましょう。

中点の座標
2点 $\mathrm{ A }(x_1,y_1)$, $\mathrm{ B }(x_2,y_2)$ に対して、この2点の中点の座標は次のようになる。\[
\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \]

よく出てくるので、覚えておきましょう。