【標準】組合せと確率

ここでは、組合せを使った確率の問題をいくつか見ていきます。

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人の組合せに関係する確率

例題1
大野、櫻井、相葉、二宮、松本の5人からランダムに3人を選んで新ユニットを作る。新ユニットに大野が入る確率を求めなさい。

5人から3人を選ぶ方法は、【基本】組合せ【標準】組合せなどで見たように、 ${}_5 \mathrm{ C }_3$ 通りとなるんでしたね。選び方は、どれも同様に確からしいです。

新ユニットに大野が入る確率を求めるには、そうなる場合の数を求めます。大野以外の2人を、4人から選べばいいので、 ${}_4 \mathrm{ C }_2$ 通りとなります。

以上から、求める確率は\[ \frac{{}_4 \mathrm{ C }_2}{{}_5 \mathrm{ C }_2} = \frac{6}{10}=\frac{3}{5} \]となります。

感覚的にも、5人から3人が選ばれるんだから、確率が $\dfrac{3}{5}$ になるのは自然な気がしますね。

モノの組合せに関係する確率

例題2
3個の赤球と7個の白球を1つの袋に入れ、この袋から2個の球を同時に取り出す。このとき、白球が出ない確率と、白球と赤球が1個ずつ出る確率を、それぞれ求めなさい。

ただの組合せであれば、「赤・赤」「赤・白」「白・白」の3パターンしか考えなくてもよいのですが、確率の場合は違います。それぞれの起こりやすさが違うため、すべての球を区別して考えることになります。【基本】同様に確からしいで見ましたね。

10個の球に番号をふって考えましょう。1から3が赤、4から10が白だと考え、すべての球を区別します。この10個から2個を同時に取り出す方法は、 ${}_{10} \mathrm{ C }_2$ 通りあります。

白球が出ない場合とは、赤球が2個ということであり、3個から2個を選ぶ方法を考えればいいですね。 ${}_3 \mathrm{ C }_2$ 通りです。よって、この確率は\[ \frac{{}_3 \mathrm{ C }_2}{{}_{10} \mathrm{ C }_2}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15} \]となります。

また、白球と赤球が1個ずつ出る場合は、7個の白球から1個選び、3個の赤球から1個選ぶ場合なので、 ${}_7 \mathrm{ C }_1 \times {}_3 \mathrm{ C }_1$ 通りとなります。よって、この確率は\[ \frac{{}_7 \mathrm{ C }_1 \times {}_3 \mathrm{ C }_1}{{}_{10} \mathrm{ C }_2}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15} \]となります。

確率における順列と組合せ

先ほどの球を取り出す例題について、少し変わったことを考えましょう。元の例題では、「2個の球を同時に取り出す」としていましたが、同時ではなく1個ずつ取り出すように変更すると、確率は変わるでしょうか

「同時に取り出す」ということは、「同じ選び方になるものを区別しない」ということです。「3番と6番の球を取り出したとき」と「6番と3番の球を取り出したとき」を区別しないということです。一方、1個ずつ取り出すというのは、「1回目が3番、2回目が6番」「1回目が6番、2回目が3番」というように、区別するということです。

区別しないときと区別するときを考えたいので、もっと極端なことをいうと、「片手で2個同時につかんで取り出す場合」と「両手で1個ずつつかんで取り出す場合」で確率が変わるでしょうか。「右手が赤で左手が白」などと区別できるようになると、確率は変わるでしょうか。

ここまで来ると分かるかもしれませんが、確率は変わりません。片手でとる(2個を区別しない)か、両手でとる(2個を区別する)かで、確率が変わるわけはありませんよね。

実際、計算して確認してみましょう。球を取り出す方法を、「1個ずつ2回取り出す」と変えたとしましょう。球の取り出し方は、全部で ${}_{10} \mathrm{ P }_2$ 通りです。赤が2個取り出される場合は、1回目が赤、2回目も赤なので、 ${}_{3} \mathrm{ P }_2$ 通りだから、確率は\[ \frac{{}_3 \mathrm{ P }_2}{{}_{10} \mathrm{ P }_2}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15} \]となり、上の解き方と一致します。

また、白1個・赤1個となるのは、1回目が白で2回目が赤の場合が $7\times 3$ 通り、1回目が赤で2回目が白の場合は $3\times 7$ 通りで、これ以外にはないので、確率は\[ \frac{7\times 3+3\times7}{{}_{10} \mathrm{ P }_2} = \frac{42}{90}=\frac{7}{15} \]となり、やはり一致します。

つまり、並べるのか選ぶのかによって、確率が変わることはないんですね。例題1の5人から3人を選ぶ問題でも、「メンバー1、メンバー2、メンバー3」というように区別して考えることができます。大野がこの3つのポジションのどこかになり、他の4人が残り2つのポジションにつくと考えて、\[ \frac{3\times 4\times 3}{{}_5 \mathrm{ P }_3}=\frac{3}{5} \]と求めることもできます。

おわりに

ここでは、組合せを使った確率の問題を見てきました。また、組合せを区別して、「並べる」と考えても確率が変わらない例も見ました。慣れないと難しく感じますが、確率の問題で、組合せと順列を入れ替えて解くと解きやすくなるケースがあるので、余力があれば身につけておきましょう。