なかけんの数学ノート

【標準】三角比と三角形の面積

【基本】三角比と三角形の面積で、 $\sin$ を使った三角形の面積の表し方を見ました。ここでは、3辺が与えられたときに三角形の面積を求める方法を見ていきます。

なお、 $\mathrm{ AB }=c$, $\mathrm{ BC }=a$, $\mathrm{ CA }=b$ と書き、角の大きさは $\angle \mathrm{ CAB }=A$, $\angle \mathrm{ ABC }=B$, $\angle \mathrm{ BCA }=C$ と書くことにします。

【目次】

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例題

例題
$\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $a=5$, $b=6$, $c=7$ のとき、この三角形の面積を求めなさい。

【基本】三角比と三角形の面積では、2辺とその間の角(の $\sin$ )がわかっている場合に、面積を求めることができる、ということを見ました。しかし、この例題では、角度の情報が何もありません。

一方、3辺がわかっている場合は、余弦定理を使えば、 $\cos$ を求めることができるんでしたね(参考:【基本】余弦定理の基本的な使い方#例題3)。これと相互関係を使えば、 $\sin$ が出せるので、三角形の面積も出すことができます。この流れで解いていきます。

余弦定理より
\begin{eqnarray}
\cos A
&=&
\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\[5pt]
&=&
\frac{6^2+7^2-5^2}{2\cdot 6\cdot 7} \\[5pt]
&=&
\frac{36+49-25}{2\cdot 6\cdot 7} \\[5pt]
&=&
\frac{60}{2\cdot 6\cdot 7} \\[5pt]
&=&
\frac{5}{7} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。

三角比の相互関係から
\begin{eqnarray}
\sin A
&=&
\sqrt{1-\cos^2 A} \\[5pt]
&=&
\sqrt{1-\left(\frac{5}{7}\right)^2} \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{7^2-5^2}}{7} \\[5pt]
&=&
\frac{2\sqrt{6}}{7}
\end{eqnarray}となります。

このことから、この三角形の面積は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}bc\sin A
&=&
\frac{1}{2} \times 6\times 7\times \frac{2\sqrt{6}}{7} \\[5pt]
&=&
6\sqrt{6} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。

A を使って面積を求めましたが、もちろん、他の角の $\sin$ から求めても同じ答えになります。

おわりに

ここでは、3辺だけが与えられたときに、三角形の面積を求める問題を考えました。ステップとしては

  • 余弦定理を用いて $\cos$ を求める。
  • 三角比の相互関係から $\sin$ を求める。
  • 三角形の面積を求める公式を使う。

という順番で解くことができます。今まで学んだことを駆使して解いていくので、理解が怪しい部分は都度見直すようにしましょう。

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対象者: 数学I
分野: 図形と計量
トピック: 三角比
レベル: 標準
キーワード: 三角形の面積, 面積, 三角比, 余弦定理
更新日:2016/12/02