【標準】導関数のいろいろな表し方

ここでは、導関数のいろいろな表し方を紹介していきます。

【広告】

xとyだけで導関数を表す方法

$f(x)$ の導関数は、【基本】導関数で見たように、\[ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]で定義され、 $f'(x)$ と表すのでした。この「 $’$ 」をつける、というのがよくある方法です。

ただ、関数は、次のように $f(x)$ を使わない形で表現されていることもあります。\[ y=x^2+x+1 \]このような場合で導関数を考えるとき、わざわざ $f(x)=x^2+x+1$ とおいて、 $f'(x)$ と書くのは面倒です。そのため、 $f'(x)$ と同じ記号を使って、 $y’$ で表します。この $y’$ が意味するものは、上の式と同様で、「 y の変化量を x の変化量で割り、 x の変化量を限りなく $0$ に近づけて得られるもの」ということです。今の場合であれば、\[ y’=2x+1 \]となります。

このような、 x の変化量、 y の変化量を、それぞれ $\Delta x$, $\Delta y$ で表すことがあります。この三角の記号は「デルタ」といって、ギリシャ文字の1つです。 $\Delta x$ は、 $\Delta \times x$ のことではなくて、まとめて1つのもの(x の変化量)を表します。

この記号を使って、上の式と同じように導関数の定義式をかくと、次のようになります。\[ y’=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]$\Delta x$, $\Delta y$ 、それぞれが1かたまりなので、 $\Delta$ で約分する、というようなことはしないので注意しましょう。

また、 $\Delta y$ は、 $\Delta x$ によって決まることにも注意しましょう。独立に決まるものではありません。例えば、 $y=f(x)$ とおくと、 xa から b に変化したときを考えるなら、 $\Delta y=f(b)-f(a)$ です。 x の動きと別に決まるわけではありません。

複数の文字があった場合の導関数の表し方

当面は出てこないですが、複数の文字が含まれている場合に、導関数を考えたいこともあります。例えば、\[ y=x^2+tx \]のような場合です。このときに、 $y’$ と書いても、 xy について考えているのか、 ty について考えているのか、わからないですね。

このようなときのために、「何を何で微分しているか」がわかる形の表し方もあります。例えば、 yx で微分している場合( y の変化量を x の変化量で割り、 x の変化量を限りなく $0$ に近づけて得られるもの)には、次のように表します。\[ \frac{dy}{dx} \]これは、先ほど見た\[ y’=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]の右辺を参考にした表現方法です。これは分数の形をしていますが、「 yx で微分したもの」という記号を表しており、分数とは違うもの、という扱いをします。読み方も「ディーエックス分のディーワイ」ではなく、「ディーワイディーエックス」と読むことが多いです。

また、先ほど「 $\Delta x$ は、 $\Delta \times x$ のことではない」と書きましたが、この導関数の表現でも同じで、 $dx$ は $d\times x$ のことではありません。そのため、 $d$ で約分する、ということはありません。

微分の成り立ちから考えると、分数に似た形で表現することは不自然ではありません。しかし、微分は、「 $dy$ を $dx$ で割る」という求め方ではありません。それぞれの変化量は独立に決まるものではありません。また、途中で、極限をとる操作も入ります。そのため、厳密には「分数ではない」というように考えます。少しややこしいですね。

例えば、 $y=x^2+tx$ のときは、\[ \frac{dy}{dx}=2x+t \]となります。 x で微分するときは、 t は定数と同じだ、と考えます。 $x^2$ の導関数が $2x$ で、 $x$ の導関数が $1$ なので、上のように計算できます。また、\[ \frac{dy}{dt}=x \]となります。 t で微分するときは、 x を定数と思って微分することになります。

この書き方にならって、 $f(x)$ の導関数も、 $\dfrac{df}{dx}$ や $\dfrac{d}{dx}f(x)$ などと書くことがあります。

「 $’$ 」と書くよりも少し面倒ですが、このように書けば、何を何で微分しているかが明確にわかります。

おわりに

ここでは、導関数のいろいろな書き方を見ました。一番多い書き方は「 $’$ 」を用いたものですが、他の書き方が出てくる場合もたまにあります(序盤で出会うことは少ないです)。特に、 $\dfrac{dy}{dx}$ が普通の掛け算や割り算を表してはいないことに注意しておきましょう。