【標準】対称性のある式の因数分解

ここでは、対称性のある式の因数分解を見ていきます。対称性がある式は、どこから手をつければいいのかわかりづらいのですが、「1つの文字に着目する」という方針で解いていけばうまくいくことが多いです。

対称性を崩してしまうので抵抗がありますが、最終的にはまた対称性のある式に戻ります。

例題1

さっそく例を見ていきましょう。

【例題】
次の式を因数分解せよ。
$ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +2abc$

$a$ を $b$ に、$b$ を $c$ に、$c$ を $a$ に変換しても、元の式に戻ります。対称性があってきれいな状態ですが、このままでは因数分解をすることができません。

そこで、まず、$a$ について整理することを考えます。
\begin{eqnarray}
& &
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +2abc \\
&=&
a^2b+ab^2 +bc(b+c) +c^2a +ca^2 +2abc \\
&=&
(b+c)a^2+(b^2+2bc+c^2)a +bc(b+c) \\
&=&
(b+c)a^2+(b+c)^2a +bc(b+c) \\
&=&
(b+c)\{a^2+(b+c)a +bc\} \\
&=&
(b+c)(a+b)(a+c) \\
&=&
(a+b)(b+c)(c+a) \\
\end{eqnarray}2行目から3行目は、$a$ について並べただけですね。そうすると、$b+c$ という共通項が出てくるので、これでくくります。波かっこの中はさらに因数分解することができるので、因数分解して巡回するように並びなおします。

元の式が対称性があったので、因数分解をした後も対称性のある式になりました。対称性が崩れるような式変形から始まるので少し抵抗はありますが、どれか1つの文字に着目しないと前に進みません。

例題2

先ほどと似ているところもありますが、次はこれを考えてみます。

【例題】
次の式を因数分解せよ。
$ab(a-b) +bc(b-c) +ca(c-a)$

これもきれいな形をしていますが、まずは $a$ について変形していく、という方針で解いていきます。
\begin{eqnarray}
& &
ab(a-b) +bc(b-c) +ca(c-a) \\
&=&
a^2b-ab^2 +bc(b-c) +c^2a -ca^2 \\
&=&
(b-c)a^2-(b^2-c^2)a +bc(b-c) \\
&=&
(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a +bc(b-c) \\
&=&
(b-c)\{ a^2-(b+c)a +bc \} \\
&=&
(b-c)(a-b)(a-c) \\
&=&
-(a-b)(b-c)(c-a) \\
\end{eqnarray}最後は巡回するように変形していますが、下から2行目の段階で答えにしてもかまいません。

例題3

似たような方針で解けますが、次の問題も考えてみます。

【例題】
次の式を因数分解せよ。
$ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +3abc$

これは例題1の問題に $abc$ が追加されたものです。途中までは同じような式変形です。
\begin{eqnarray}
& &
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +3abc \\
&=&
a^2b+ab^2 +bc(b+c) +c^2a +ca^2 +3abc \\
&=&
(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a +bc(b+c) \\
\end{eqnarray}ここまでは同じですが、ここで止まってしまいますね。少し難しいですが、次のように変形してみます。
\begin{eqnarray}
& &
(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a +bc(b+c) \\
&=&
(b+c)a^2+\{ (b+c)^2 +bc \}a +bc(b+c) \\
\end{eqnarray}ここから先は、たすき掛けです。試行錯誤すると、次の場合が成り立つことが分かります。
 $b+c$  $bc$
    ×
  $1$   $b+c$
このことから、続きはこうなります。
\begin{eqnarray}
& &
(b+c)a^2+\{ (b+c)^2 +bc \}a +bc(b+c) \\
&=&
\{ (b+c)a +bc \} \{ a + (b+c) \} \\
&=&
(ab+ac+bc)(a+b+c) \\
&=&
(a+b+c)(ab+bc+ca) \\
\end{eqnarray}例題1に $abc$ が加わるだけで、だいぶ結果が変わります。出てくる式はどちらも対称性がありますね。

まとめ

対称性のある式の因数分解は、どれか1つの文字について整理して考えます。対称性が一時的に崩れますが、最終的には対称性のあるきれいな式になります。