なかけんの数学ノート

【発展】三次方程式の解と係数の関係

ここでは、三次方程式の解と係数の関係を見ていきます。

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三次方程式の解と係数の関係

【基本】二次方程式の解と係数の関係では、二次方程式における、解と係数の関係を見ました。二次方程式の場合は、解の公式があったので、解の和と解の積を係数を用いて表すことは簡単でした。

三次方程式の場合にも、解の和などを係数を用いて表すことができます。ただ、三次方程式の場合は、少し違った導き方をします。

三次方程式\[ ax^3+bx^2+cx+d = 0 \]について考えましょう。複素数の世界で考えれば、この方程式には3つの解があります(参考:【基本】高次方程式と重解#代数学の基本定理)。これらの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とおきます。3つ目は「ガンマ」というギリシャ文字です(参考:ギリシャ文字一覧)。

因数定理から、方程式の左辺は、 $x-\alpha$, $x-\beta$, $x-\gamma$ のどれで割っても割り切れます。また、最高次数の係数は $a$ なので、次のように因数分解できることがわかります。\[ a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0 \]この左辺を展開すると
\begin{eqnarray}
& &
a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \\[5pt]
&=&
ax^3 -a(\alpha+\beta+\gamma)x^2 \\
& &
+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x -a\alpha\beta\gamma
\end{eqnarray}となります。この式と元の方程式の左辺は一致します。このようにして各係数を比較して得られる関係式が、三次方程式における解と係数の関係です。

三次方程式の解と係数の関係
三次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d = 0$ の解 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ と係数に対して、次の関係式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
& & \alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a} \\[5pt]
& & \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a} \\[5pt]
& & \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} \\[5pt]
\end{eqnarray}

2つ目の式は少し複雑ですね。しかし、こう考えてみましょう。1つ目は、1つだけを掛けた結果(つまり、それ単体)を足したもの、2つ目は、2つを掛けた結果を足したもの、3つ目は3つを掛けた結果を足したもの(1つしかないので、掛けただけ)となっています。また、符号が順番に入れ替わっていることにも注意しましょう。

二次方程式の解と係数の関係も、上と同じように因数定理から導くこともできます。また、上と同じように、代数学の基本定理と因数定理をベースに考えれば、四次以上の場合でも、解と係数の関係を得ることができます。例えば、\[ x^5+x^3+x^2+x+1=0 \]という五次方程式があった場合、この解をすべて足したものは、計算しなくても $0$ だとわかります。四次の係数を五次の係数で割って $-1$ を掛けたものが解の和になりますが、四次の項がないので $0$ だとわかるからです。計算しなくても、また、解が1つもわからない状態でも、解の和だけはすぐにわかる、というのは少し不思議ですね。

おわりに

ここでは、三次方程式の解と係数の関係を見ました。また、同じ考え方を用いれば、二次方程式の場合は四次以上の場合でも、解と係数の関係を導けることを見ました。解を求めなくても、解に関する情報を知ることができる、というのがおもしろいですね。

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対象者: 数学II
分野: 複素数と方程式
トピック: 複素数と方程式
レベル: 発展
キーワード: 解と係数の関係, 因数定理
更新日:2017/07/06