なかけんの数学ノート

【発展】クラスに同じ誕生日の人がいる確率は?

ここでは、クラスに同じ誕生日の人がいる確率を考えてみます。具体的な数字を求めると、直感と違うように感じる人が多いです。

[広告]

クラスに同じ誕生日の人がいる確率

例題1
40人のクラスの中に、同じ誕生日である2人が存在する確率を求めなさい。ただし、それぞれの人に対して、「誕生日がどの日であるか」の確率は、他の人の誕生日関係なく $\dfrac{1}{365}$ であるとする。

もし、AさんとBさんの2人しかいないとすると、Aさんの誕生日は365通りあり、Bさんも365通りです。また、AさんとBさんの誕生日が一致するのは365通りあるので、「2人いて、2人が同じ誕生日の確率」は $\dfrac{1}{365}$ となります。

これを踏まえてCさんも入れた3人の場合を考えます。3人の誕生日のパターンは、 $365^3$ 通りです。「同じ誕生日である2人が存在する」のは、(A・B)、(B・C)、(C・A) が同じ誕生日である場合と、3人が同じ場合の4つのケースがあります。

2人のときより複雑です。これらを場合分けして後で足してもいいのですが、大変です。しかも、人数が増えると、さらに場合分けが増えていきそうです。

こういう場合は、反対サイドを考えてみましょう。「同じ誕生日である2人が存在する」の否定は、「誕生日が全員違う」です。3人の場合、全員違うパターンは、Aさんが365通り、BさんはAさんの誕生日以外の364通り、Cさんは2人の誕生日以外の363通りなので、 $365\times 364 \times 363$ 通りとなります。

余事象を考えたほうが計算しやすいですね。このことから、3人の場合は\[ 1-\frac{365 \cdot 364 \cdot 363}{365^3} \]となります。

さらにこれを踏まると、40人の場合も同じように求められます。余事象の確率、つまり、誕生日が全員違う確率は、分母が $365^{40}$ であり、分子は、 $365$ から $365-39=326$ までの積になります。これを1から引いたものが求める確率になります。記号を使ってまとめると\[ 1-\frac{365!}{365^{40} \cdot 325!} \]となります。 $365!$ と $325!$ の共通部分を約分すれば、 $365$ から $326$ までの積になります。

上の流れを一般化すると、 n 人いたとき(2人以上365人以下とします)に、同じ誕生日の2人がいる確率は\[ 1-\frac{365!}{365^{n} (365-n)!} \]とかけます。実際に計算してみると、次のようになります。

$n=2$ : $0.27$ %
$n=10$ : $11.69$ %
$n=20$ : $41.14$ %
$n=23$ : $50.73$ %
$n=30$ : $70.63$ %
$n=40$ : $89.12$ %
$n=50$ : $97.04$ %

小数第3位を四捨五入しています。数字を具体的に見てみると、23人のクラスだと、同じ確率の2人がいる確率は50%を超えるんですね。40人のクラスなら、9割近い確率です。具体的に計算してみると、思ったよりも高く感じるんじゃないでしょうか。

クラスに自分と同じ誕生日の人がいる確率

例題2
Xさんのクラスには、Xさんを含めて40人の生徒がいる。このクラスの中に、Xさんと同じ誕生日である人が存在する確率を求めなさい。ただし、それぞれの人に対して、「誕生日がどの日であるか」の確率は、他の人の誕生日関係なく $\dfrac{1}{365}$ であるとする。

先ほどの例題は「誰でもいいから同じ誕生日の人がいればいい」という条件でしたが、今回は「特定の人と同じ誕生日である」という条件になっています。制約が強くなっているので、確率は下がります。

先ほどと同じように、余事象の確率で考えましょう。まず、Aさん、Bさん、Xさんの3人の場合を考えましょう。AさんもBさんも、Xさんの誕生日と違う場合は、 $364^2$ 通りとなります。よって、Xさんと同じ誕生日である人が存在する確率は\[ 1-\frac{364^2}{365^2} \]となります。「Xさんと違う」ケースだけを引けばいいので、こういう式になります。

これを踏まえると、40人のクラスの場合、39人がXさんと違うケースを引けばいいので、求める確率は\[ 1-\frac{364^{n-1}}{365^{n-1}} \]となります。

こちらも、具体的な数値を計算すると

$n=2$ : $0.27$ %
$n=10$ : $2.44$ %
$n=20$ : $5.08$ %
$n=23$ : $5.86$ %
$n=30$ : $7.65$ %
$n=40$ : $10.15$ %
$n=50$ : $12.58$ %

小数第3位を四捨五入しています。前の例題と異なり、「自分と同じ誕生日の人がいる確率」だと、こんなにも低くなってしまうんですね。

なお、ここの数字は、だいたい $\dfrac{n-1}{365}$ と近い値になっています。これはたまたまではありません。二項定理を使って(将来出てきます)、ざっくりとした計算をすると
\begin{eqnarray}
1-\frac{364^{n-1}}{365^{n-1}}
&=&
\frac{365^{n-1}-364^{n-1}}{365^{n-1}} \\[5pt]
&=&
\frac{(364+1)^{n-1}-364^{n-1}}{365^{n-1}} \\[5pt]
&=&
\frac{(n-1)364^{n-2}+\cdots}{365^{n-1}} \\[5pt]
&=&
\frac{n-1}{365} +\cdots \\[5pt]
\end{eqnarray}となることから、結果をイメージできる人もいるでしょう。

おわりに

ここでは、クラスに同じ誕生日の人がいる確率、自分と同じ誕生日の人がいる確率を見てきました。だれでもいい場合はかなり高い確率になりますが、「自分と」という条件が付くとだいぶ下がりましたね。後者は直感と近いかもしれませんが、前者は思ったより高いと感じる人が多いのではないでしょうか。

[広告]
対象者: 数学A
分野: 場合の数と確率
トピック: 確率
レベル: 発展
キーワード: 確率
更新日:2017/03/31