なかけんの数学ノート

【発展】二重根号が外せる条件

【基本】二重根号の外し方【標準】二重根号の外し方 で、二重根号の外し方を紹介しました。しかし、二重根号はいつでも外せるわけではありません。ここでは、外せるための条件を考えていきます。なお、「解と係数の関係」に慣れていないと、説明を聞いてもピンと来ないと思います。

二重根号を外すためには、$\sqrt{ A +2\sqrt{B} }$ や $\sqrt{ A -2\sqrt{B} }$ に対して、足して$A$、掛けて$B$となる数字$p,q \ (p \gt q \gt 0)$を見つけて、次のように変形すればいいんでしたね。
\begin{eqnarray}
\sqrt{ A +2\sqrt{B} } = \sqrt{p}+\sqrt{q} \\
\sqrt{ A -2\sqrt{B} } = \sqrt{p}-\sqrt{q}
\end{eqnarray}

$p,q$が、足して$A$、掛けて$B$になる場合、$p,q$ は $x^2-Ax+B=0$ の解になります。よって、$p,q$が存在するためには、$A^2-4B \geqq 0$でないといけません。

また、$A^2-4B \geqq 0$のときには、$p,q$をそれぞれ$\displaystyle \frac{A+\sqrt{A^2-4B}}{2}$、$\displaystyle \frac{A-\sqrt{A^2-4B}}{2}$とすればよいことがわかります。$p \gt q \gt 0$ の条件もクリアしています。特に、$A^2-4B$が平方数であれば、答えは有理数になります。

試験で「二重根号を外しなさい」と言われたら、「外せるかどうか」は考える必要はないでしょう(当然外せるはず)。なので、普段はこの記事の内容について深く考えなくても問題ありません。

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対象者: 数学I
分野: 数と式
トピック: 実数
レベル: 発展
キーワード: 二重根号
更新日:2016/05/08