【発展】ルート2が無理数であることの証明(背理法を使わない方法)

背理法について説明するときには、「ルート2が無理数であることの証明」が使われることが多いです。このサイトでも、【基本】背理法で使いました。

ただ、別に背理法を使わなくても、直接示すこともできます。ここではその方法を紹介します。

背理法を使わない証明

【例題】
$\sqrt{2}$ が無理数であることを示しなさい。
【証明】
p, qを自然数とする。

$2p^2$, $q^2$ が2で割れる回数(自然数の範囲で)は、それぞれ奇数回と偶数回になるので、一致することはない。だから、任意の自然数p, qについて、\[ 2p^2 \ne q^2 \]となる。正の平方根同士も等しくないので、\[ \sqrt{2}p \ne q \]となる。

このことから、任意の自然数p, qに対して、\[ \sqrt{2} \ne \frac{q}{p}\]となるので、$\sqrt{2}$ は無理数となる。
【証明終】

「2で割れる回数」に着目するというのは少し難しいかもしれません。しかも、この発想がないと、書けるものが何もありません。背理法なら結論を否定する部分は少なくとも書けるので、試験で部分点をとることを考えるとまだマシなのかもしれません。

背理法を使うと、基本的にまわりくどい証明になるので、直接証明する方法が思いつくのであれば、そちらを優先した方がいいでしょう。それが難しそうなら、背理法を使う証明を考えてみる、という順番で考えるのがいいですね。