【導入】積分

ここでは、これから見ていく「積分」について、紹介します。

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積分とは

足し算に対して引き算があり、掛け算に対して割り算があるように、微分にも反対のものがあります。それが積分です。つまり、関数 $f(x)$ に対して、導関数 $f'(x)$ を求めることが「微分」であり、逆に、「微分をして $f(x)$ になるもの」を求めることが「積分」です。高校数学では、「積分は微分の逆」と紹介されます。

これだけを聞けば、例えば「接線の傾きがこうなるような関数を求めなさい」というようなときにしか、「積分」の出番がないように思います。しかし、積分にはとても重要な役割を持っています。それは、面積との関係です。

積分と面積

今まで、面積と言えば、三角形の面積や長方形の面積、円の面積などを扱ってきました。ただ、「放物線と直線で囲まれた部分の面積」というのは、同じような発想で求めることは難しいです。

しかし、積分を使えば、こうした面積を求めることができるようになります。さらに、「三次関数のグラフと直線で囲まれた部分の面積」だって求めることができるようになります。また、もっと学習を進めていけば(文系の範囲では通常は出てきませんが)、例えば、円すいや三角すいの体積を求めるときに「÷3」をしていた理由だって、積分を学べば理解できるようになります。

それでは、積分、そして、積分と面積の関係について見ていきましょう。