なかけんの数学ノート

【応用】人をグループに分ける方法の総数

ここでは、何人かをいくつかのグループに分ける方法の総数について考えます。グループが区別できるかどうかに注意して考えます。

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4人を2人ずつのグループに分ける

例題1
生徒番号が 1, 2, 3, 4 である4人の生徒を、次のように分ける方法は何通りあるか。
(1) 2人のグループAと2人のグループBに分ける。
(2) 2人、2人の2つのグループに分ける。

(1)は、「グループAにだれを入れるか」と考えると、4人から2人選ぶことになります。残りは自動的にBに入ることが確定するので、\[ {}_4 \mathrm{ C }_2 = 6 \]通り、となります。これは問題ないでしょう。

問題は(2)です。これは(1)と何が違うのでしょうか。

(1)と(2)で違うのは、「グループが区別できるかどうか」です。(2)ではグループが区別できないので、(1)と同じ数え方ではダブりが発生してしまいます。どういうことか、数が少ないので具体的に書き出して考えてみます。

(1)の分け方を具体的に書くと、次の6通りです。

(a) A:1,2 B:3,4
(b) A:1,3 B:2,4
(c) A:1,4 B:2,3
(d) A:2,3 B:1,4
(e) A:2,4 B:1,3
(f) A:3,4 B:1,2

しかし、(2)のように、グループに名前がない場合は

(a) (1,2), (3,4)
(b) (1,3), (2,4)
(c) (1,4), (2,3)
(d) (2,3), (1,4) (cと同じ)
(e) (2,4), (1,3) (bと同じ)
(f) (3,4), (1,2) (aと同じ)

となります。(1)でAとBを入れ替えたものがダブってしまいます。

このことから、(2)を考える際には、ダブりを解消するために(1)の答えを2で割って\[ {}_4 \mathrm{ C }_2 \div 2 = 3 \]通り、と求めることになります。

グループが区別できるかどうかがポイントです。

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9人を3人ずつのグループに分ける

上の例題を踏まえて、次の問題を考えてみましょう。

例題2
9人の生徒を、次のように分ける方法は何通りあるか。
(1) 2人、3人、4人のグループに分ける。
(2) 2人、2人、5人のグループに分ける。
(3) 3人、3人、3人のグループに分ける。

(1)はグループに名前がついていません。しかし、グループの人数が違うため、それぞれのグループを区別することができます。なので、上の例題1(1)のときと同様に、単純に、9人から2人選び、残り7人から3人を選ぶ方法を考えればいいです。\[ {}_9 \mathrm{ C }_2 \times {}_7 \mathrm{ C }_3 = 36 \times 35 =1260 \]通り、となります。

(2)はグループに名前がついていない上、2人のグループが2つあります。この2つのグループは見分けがつきません。つまり、2人のグループA、2人のグループB、5人のグループCと分けたとすると、A・B・Cに分けたものとB・A・Cに分けたものが区別できません(例えば、「(1,2),(3,4),(5,6,7,8,9)」と「(3,4),(1,2),(5,6,7,8,9)」は同じ分け方になってしまう)。

よって、上の例題1(2)のときと同様に、「9人から2人選び、残り7人から2人を選ぶ方法」を考えた後に、「2つのグループが区別できないため、2回ダブって数えていた分を割る」必要があります。これから、\[ {}_9 \mathrm{ C }_2 \times {}_7 \mathrm{ C }_2 \div 2 = 36 \times 21 \div 2 =378 \]通り、となります。

(3)は、グループに名前がなく、3人のグループが3つあります。この3つのグループは見分けがつきません。この場合も組合せを考えるだけでは同じものをダブって数えてしまうのですが、何で割ればいいでしょうか。

3人のグループA、3人のグループB、3人のグループCと分けたとしましょう。このとき、「A・B・C」と分けたものと一致するのは、「A・C・B」「B・A・C」「B・C・A」「C・A・B」「C・B・A」の5つなので、1つの分け方を6回ダブって数えていることになります。これは、3つのものを一列に並べる方法の総数 $3!$ と一致します。

このことから、\[ {}_9 \mathrm{ C }_3 \times {}_6 \mathrm{ C }_3 \div 3! = 84 \times 20 \div 6 =280 \]通り、と求められます。

グループが見分けられないときは、そのようなグループの個数を並び替えた分だけダブって数えることになります。そのため、その個数の階乗で割れば求められます。例えば、2人・2人・2人・3人・3人・3人というグループに分けるなら、最後に $(3!)^2$ で割ればいいわけです。

おわりに

ここでは、何人かの人をグループに分ける方法を考えました。グループが区別できない場合には、組合せを考えた後にダブっている分だけ割らないといけないことを見ました。グループが区別できるかどうか、問題文をよく読んで考えるようにしましょう。

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対象者: 数学A
分野: 場合の数と確率
トピック: 場合の数
レベル: 応用
キーワード: 場合の数
更新日:2017/02/23