【応用】ベクトルの終点の存在範囲(台形)

ここでは、ベクトルの終点の存在範囲を求める問題を見ていきます。答えが三角形や台形になるような例を取り上げます。

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係数の和が1で係数が0以上の場合

$\mathrm{ A }(\vec{a})$, $\mathrm{ B }(\vec{b})$, $\mathrm{ P }(\vec{p})$ があって、 $\vec{p}=(1-t) \vec{a}+t\vec{b}$ を満たしていたとします。このとき、【応用】ベクトルの終点の存在範囲(直線)でも見た通り、点 P は直線 AB 上を動きます。ここで、 $0\leqq t \leqq 1$ という条件、つまり、それぞれの係数が $0$ 以上である、という条件がつくとどうなるでしょうか。

上の式はもともと\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OP } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ AB } } \]と同じであったことを思い出せば、 $t=0$ のときと $t=1$ のときの間を考えればいいことがわかります。よって、 P は線分 AB 上を動くことがわかります。

同じことですが、 $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$, $s+t=1$, $s\geqq 0$, $t\geqq 0$ のときも、 P は線分 AB 上を動くことがわかります。【基本】2点を通る直線のベクトル方程式の内容も参考になるはずです。

係数の和が $1$ という条件だけなら直線、各係数が $0$ 以上という条件もつけば線分になる、ということですね。これを踏まえて、次の問題を考えてみましょう。

係数の和が動く場合

例題
平行四辺形 ABCD がある。 AB, BC, CD, DA の中点を、それぞれ、 E, F, G, H とし、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AP } }=s\overrightarrow{ \mathrm{ AE } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ AH } }$ とする。
次の条件を満たしながら s, t が動くとき、点 P の存在範囲を求めなさい。

(1) $0\lt s+t \lt 1$, $s\gt 0$, $t\gt 0$
(2) $1\leqq s+t \leqq 2$, $s \geqq 0$, $t \geqq 0$

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図は次のようになっています。

「(1) $0\lt s+t \lt 1$, $s\gt 0$, $t\gt 0$ 」を考えてみましょう。【応用】ベクトルの終点の存在範囲(平行四辺形)の場合と少し似ていますが、決定的に違うのは、 s, t が独立には動けない、という点です。和に制約があるので、これを考えないといけません。

この場合、 s を動かして t を動かすよりも、和に関する条件が与えられているのだから、和を動かしたほうが考えやすくなりますk を $0\lt k\lt 1$ を満たす実数とし、 $k=s+t$ としましょう。このとき、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{ \mathrm{ AP } }
&=&
s\overrightarrow{ \mathrm{ AE } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ AH } } \\[5pt] &=&
\frac{s}{k} \times k\overrightarrow{ \mathrm{ AE } }+\frac{t}{k} \times k\overrightarrow{ \mathrm{ AH } } \\[5pt] \end{eqnarray}となります。こうして、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AQ } }=k\overrightarrow{ \mathrm{ AE } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ AR } }=k\overrightarrow{ \mathrm{ AH } }$ となる Q, R をとれば、係数は正で、係数の和は $\dfrac{s}{k}+\dfrac{t}{k}=1$ となります。よって、このときに P の動く範囲は、線分 QR(両端の点を除く)となります。

ここで、 $0\lt k\lt 1$ となるように k を動かせば、 Q は線分 AE 上を、 R は線分 AH 上を、 QREH と平行になるように動きます(線分の両端は除く)。よって、点 P の動く範囲は、「三角形 AEH の内部(周は含めない)」となります。

(2)も同じように考えます。 k を $1\leqq k\leqq 2$ を満たす実数とし、 $k=s+t$ とします。このとき、先ほどと同じ記号を使えば、 P の動く範囲は、線分 QR(両端の点を含む)となります。

$1\leqq k\leqq 2$ となるように k を動かせば、 Q は線分 EB 上を、 R は線分 HD 上を、 QREH と平行になるように動きます(線分の両端を含む)。よって、点 P の動く範囲は、「四角形 EBDH の周とその内部」となります。

おわりに

ここでは、ベクトルの終点の存在範囲を考える問題で、係数が0以上の場合や、係数の和が動く場合を考えました。各係数が0以上の場合は線分を表すのでしたね。また、係数の和が動く場合は、まず和を固定し、その後で和を動かす、という順番で考えるようにするといいでしょう。