【応用】「最小値の最大」問題は何をやっているか

今後、「最小値が最大になる場合」「最大値が最小になる場合」などを考える場面が出てきます。例えば、次のような問題です。

【例題】
関数 $y=x^2-2ax+2a+1 \ (0\leqq x \leqq 2)$ の最小値を m とするとき、m の最大値を求めなさい。ただし、 a は実数とする。

「最大値の最小」や「最小値の最大」というのは一体どういうことなのか、という話を別の例を使って説明したいと思います。

最高気温が最も低くなる日

「一日の最高気温が最も低くなる日」というのを考えてみましょう。一日の最高気温というのは、だいたいお昼過ぎの気温のことですよね。それが一番低くなるのが冬の日のどれかであることは、すぐにイメージすることができると思います。

少しくどいですが、このことをグラフを使って見てみましょう。一日の最高気温に関する次のグラフを見てください。

expert-max-of-min-introduction-01

これは、東京都内の2015年の気温データ(気象庁のサイトをもとに作成)です。1月1日、4月1日、7月1日、10月1日の時間別の気温のデータのグラフで、1日の最高気温の時間帯に印をつけています。その日の天気にもよりますが、通常はお昼過ぎに最高気温になります。

続いて、2015年の「一日の最高気温」のグラフです。

expert-max-of-min-introduction-02

グラフから、最高気温が一番低かったのは、1月21日であったことがわかります。

「一日の最高気温が最も低くなる日」を考えるとき、考えている対象は3つあります。「時間」と「日」、そして「気温」です。「一日の最高気温」というのは、それぞれの「日」を固定して、「時間」を動かしたときの「気温」を考えているんですね。このとき、それぞれの日に対して、「最高気温」が決まります。

次に、その「最高気温」が低くなるときを考えるんですね。このときは、「日」を動かして「最高気温」を考えることになります。動かしているものが変わっていることに注意します。「時間」はもう関係ありませんね。

順番としては、まず日を固定して時間と気温の関係を見る、次に日を動かして日と最高気温の関係を見る、となっています。

例題

ここでは問題は解かないのですが、どのような順番で問題を考えるか、ということだけ見てみます。

【例題】
関数 $y=x^2-2ax+2a+1 \ (0\leqq x \leqq 2)$ の最小値を m とするとき、m の最大値を求めなさい。ただし、 a は実数とする。

まずは、関数 $y=x^2-2ax+2a+1 \ (0\leqq x \leqq 2)$ の最小値を考えるんですね。 x を動かしたときに y が一番小さくなる時を求めます。

この前半部分は、【応用】二次関数の最大・最小(軸が動く)の例題(1)と同じなのですが、答えを見ると最小値は a の入った式になります。 a によって関数の最小値 m は変わるということです。これは「日によって最高気温が変わる」のと似ています。

m の最大値を求めるというのは、 a を動かしたときの m の最大値を求めるということです。これは、「日を動かして、最高気温が一番低くなる時を考える」のと似ています。

上で挙げた気温の例と、この例題との対応を書くと、次のようになります。

気温の例 例題
動くもの 時間、日、気温 x, a, y
まず考えるもの 時間と気温の関係 x, yの関係
得られるもの 各日の最高気温 aに応じた最小値m
次に考えるもの 日と最高気温の関係 a, mの関係

考えるものや動かしているものが、前半と後半で変わっていることに注意しましょう。何を固定して、何を変化させているのか、というのを意識しながら考えないと、こんがらがって問題が解けなくなってしまいます。

まとめ

ここでは、「最大値の最小」や「最小値の最大」を考える前に、そもそもこれは何をやっているのか、という説明をしました。これを踏まえた二次関数での具体的な問題の解き方は、別のページで取り上げることとします。