なかけんの数学ノート

【応用】二次関数の最大・最小(二次の係数が動く)

二次関数の係数や定義域に文字が入っている場合の最大・最小を考える問題を見てきました。ここでは、二次の係数に文字が入っているケースを考えます。少し特殊な場合分けが必要になります。

【目次】

例題

【例題】
関数 $y=ax^2-2ax+1 \ (0\leqq x \leqq 3)$ の最小値が $-2$ となるような a の値を求めなさい。

ここで注意が必要なのは、問題文には「関数」と書いてあって「二次関数」とは書いていないという点です。実は、これは大きな違いがあります。

「二次関数」と書いてあれば、 $x^2$ の係数は0ではないという前提が問題文に含まれます。一方、「関数」しか書いていない場合は、$x^2$ の係数が0ではないという前提は問題文には含まれません。なので、今の場合は $a=0$ の場合に言及しなかった場合は、正解にはなりません。

a の値によって、下に凸か上に凸かが変わるので場合分けが必要になるんだろう、ということには気づくかもしれませんが、実際には $a=0$ の場合も含めて考えないといけません。

ちなみに、 $a=0$ のときは、常に $y=1$ なので条件をみたさないことがわかります(この一文を答案に書かないと減点対象となってしまいます)。

$a \ne 0$ の場合を考えます。このとき、元の関数を平方完成すると、次のようになることが分かります。
\begin{eqnarray}
y
&=&
ax^2-2ax+1 \\
&=&
a(x-1)^2-a+1 \\
\end{eqnarray}これより、頂点の座標は $(1,-a+1)$ であることがわかります。

下に凸か上に凸かで最小値をとる箇所が異なるので、このケースで場合分けをします。

まず、 $a\gt 0$ のケースを考えます。このときは下に凸なので次のようなグラフになります。

expert-max-and-min-of-quadratic-function-moving-x2-01

最小値は頂点のときなので、これが $-2$ になるのは $-a+1=-2$ のとき、つまり、 $a=3$ のときですね。 $a\gt 0$ を満たすので、これは求める解になります。

また、 $a\lt 0$ のケースを考えます。グラフは次のようになります。

expert-max-and-min-of-quadratic-function-moving-x2-02

最小となるのは $x=3$ のときなので、 $9a-6a+1=-2$ を解けばいいですね。これを解くと、 $a=-1$ のときであることがわかります。 $a\lt 0$ を満たすので、これも求める解になります。

以上から、解は $a=3,-1$ となります。

まとめ

ここでは、二次の係数に文字が入っている場合を見ました。係数が正か負かだけでなく、 $0$ のケースも考えないといけない、という点に注意しましょう。

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対象者: 数学I
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: 応用
キーワード: 二次関数
更新日:2016/08/03