【応用】二次関数の最大・最小（二次の係数が動く）

🕒 2016/08/03 🔄 2023/05/01

二次関数の係数や定義域に文字が入っている場合の最大・最小を考える問題を見てきました。ここでは、二次の係数に文字が入っているケースを考えます。少し特殊な場合分けが必要になります。

📘 目次

例題

関数 $y=ax^2-2ax+1 \ (0\leqq x \leqq 3)$ の最小値が $-2$ となるような a の値を求めなさい。

ここで注意が必要なのは、問題文には「関数」と書いてあって「二次関数」とは書いていないという点です。実は、これは大きな違いがあります。

「二次関数」と書いてあれば、 $x^2$ の係数は0ではないという前提が問題文に含まれます。一方、「関数」しか書いていない場合は、$x^2$ の係数が0ではないという前提は問題文には含まれません。なので、今の場合は $a=0$ の場合に言及しなかった場合は、正解にはなりません。

a の値によって、下に凸か上に凸かが変わるので場合分けが必要になるんだろう、ということには気づくかもしれませんが、実際には $a=0$ の場合も含めて考えないといけません。

ちなみに、 $a=0$ のときは、常に $y=1$ なので条件をみたさないことがわかります（この一文を答案に書かないと減点対象となってしまいます）。

$a \ne 0$ の場合を考えます。このとき、元の関数を平方完成すると、次のようになることが分かります。
\begin{eqnarray} y &=& ax^2-2ax+1 \\ &=& a(x-1)^2-a+1 \\ \end{eqnarray}これより、頂点の座標は $(1,-a+1)$ であることがわかります。

下に凸か上に凸かで最小値をとる箇所が異なるので、このケースで場合分けをします。

まず、 $a\gt 0$ のケースを考えます。このときは下に凸なので次のようなグラフになります。