なかけんの数学ノート

【応用】二次関数の最大・最小(応用問題)

ここでは、二次関数の最大値・最小値を求める問題の応用例を見ていきます。問題文を読んで二次関数を作り、その最大値や最小値を求めます。定義域の範囲に注意しながら考えていきましょう。

【目次】

例題

【例題】
ある100円の商品が1日に100個売れるとします。この商品は、10円値上げするたびに、5個売り上げ数が減るとします。このとき、商品の値段をいくらにすれば、売り上げが最大になるでしょうか。

まずは、商品の値段と売り上げの関係を式にしてみましょう。

$10x$ 円値上げするとすると、値段は $100+10x$ となり、売上数は $100-5x$ となります。なので、売り上げは次のようになります。
\begin{eqnarray}
& &
(100+10x)(100-5x) \\
&=&
-50x^2+500x+10000 \\
&=&
-50(x^2-10x)+10000 \\
&=&
-50(x-5)^2+1250+10000 \\
&=&
-50(x-5)^2+11250 \\
\end{eqnarray}次にグラフを描くのですが、その前に定義域を考えます。商品の値段、売り上げ数がマイナスになることはないので、 $-10\leqq x \leqq 20$ となることがわかりますね。これを踏まえてグラフを描くと次のようになります。

expert-max-and-min-of-quadratic-function-applied-01

これから、 $x=5$ 、つまり、 $5x=50$円値上げをすればいい、ということがわかります。これは問題に適している(値段が負の数になったり小数になったりしていない)ので、これが答えになります。

おわりに

自分で二次関数を作って最大・最小を考える問題は、次のようなステップに分かれます。

  • わからないものを文字で置いて、二次関数を作ること
  • 定義域の範囲を考えること
  • グラフを描いて、関数の最大・最小を求めること
  • 得られた答えが問題に適しているかチェックすること

一番初めのステップは、二次関数の問題というよりは、「問題文を読んで式を作る問題」です。式を作る能力がないと、そもそもその後のステップがまったくできないので、応用問題もしっかり練習しましょう。

[広告]
対象者: 数学I
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: 応用
キーワード: 二次関数, 最大・最小
更新日:2016/08/28