なかけんの数学ノート

【応用】二変数二次関数の最大・最小(条件付)

ここでは $x, y$ という2つの変数が入った二次関数の最大・最小を考えます。ただし、2つの変数は自由に動くのではなくて、ある条件を満たしながら動くものを考えます。例題を見てみましょう。

例題1

【例題】
$x+y=3$ が成り立っているとき、次の問に答えなさい。
(1) $x^2+2y^2$ の最小値を求めなさい。
(2) $x\geqq 0, y\geqq 0$ のとき、 $x^2+2y^2$ の最大値を求めなさい。

$x^2+2y^2$ には2つの変数が入っていますが、 $x+y=3$ という条件を使えば、1つの変数にすることができます。その結果、一変数二次関数の最小値を求める問題(よく見かける問題)になります。

条件から $y=3-x$ なので、
\begin{eqnarray}
& &
x^2+2y^2 \\
&=&
x^2+2(3-x)^2 \\
&=&
x^2+2x^2-12x+18 \\
&=&
3(x^2-4x)+18 \\
&=&
3(x-2)^2-12+18 \\
&=&
3(x-2)^2+6 \\
\end{eqnarray}$z=3(x-2)^2+6$ とおくと、このグラフは次のようになります。

expert-max-and-min-of-quadratic-bivariate-function-condition-01

これから、 $x=2,y=1$ のときに最小値 $6$ をとることがわかります。

例題2

続いて、(2)をやってみましょう。

【例題】
$x+y=3$ が成り立っているとき、次の問に答えなさい。
(1) $x^2+2y^2$ の最小値を求めなさい。
(2) $x\geqq 0, y\geqq 0$ のとき、 $x^2+2y^2$ の最大値を求めなさい。

(1)で見たグラフの通り、定義域に何も制限がなければ $x^2+2y^2$ はどこまでも大きくなってしまいます。定義域に制限がついた場合で、この値の最大値を考えてみましょう。

$z=x^2+y^2$ とおくと、(1)でみたとおり、\[ z=3(x-2)^2+6 \]となるんでしたね。 $x\geqq 0$ という条件があるので、この範囲でこの関数を考えればいい、、、というのは間違いなんですね。

例えば、 $x=100$ とすると、 $x+y=3$ なので $y=-97$ となってしまい、 $y\geqq 0$ という条件を満たさなくなってしまいます。つまり、 x には他にも条件を考慮しないといけないことが分かります。

なぜこんなことが起こったのかというと、 $y=3-x$ と置いて y を消去した結果、 y の条件のことを忘れてしまったからなんですね。条件式を使って文字を消去するときには、その文字に関する条件も考慮しないといけないんですね。

今の場合、 $y=3-x$ とおくときに、 $y\geqq 0$ の条件も x で書かないといけません。つまり、 $3-x\geqq 0$ だから $x\leqq 3$ という条件も考慮しないといけません。

あわせると、$0\leqq x \leqq 3$ の範囲で $z=3(x-2)^2+6$ の最大値を考える、ということになるわけです。グラフを描くと、次のようになります。

expert-max-and-min-of-quadratic-bivariate-function-condition-02

このことから、 $x=0,y=3$ のときに最大値 $18$ となることがわかります。

おわりに

yx の式で置き換えるときは、 y の条件も x で置き換える、ということが大事です。これを忘れると、求めたいものとは別のものを求めてしまうことになります。

定義域がどうなるかを注意すれば、他の部分は今まで見た通りの「定義域に制限があるときの二次関数の最大・最小を求める問題」になります。

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対象者: 数学I
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: 応用
キーワード: 二次関数, 最大・最小
更新日:2016/08/08