なかけんの数学ノート

【応用】文字の入った二重根号の外し方

【基本】二重根号の外し方【標準】二重根号の外し方 で、二重根号の外し方を紹介しました。ここでは、ルートの中に文字が入っている場合の二重根号の外し方を考えてみます。

【例題】
$a$が正のとき、$\sqrt{a+1-2\sqrt{a}}$ の二重根号を外して、簡単にせよ。

すでに解説した方法をもとにすれば、「足して$a+1$、掛けて$a$」となるものを探せばいいので、$a,1$の組み合わせであることが分かります。しかし、$\sqrt{a}-1$としてはいけないんですね。

$\sqrt{a+1-2\sqrt{a}}$ は正なのですが、$\sqrt{a}-1$ は正とは限りません。$a\lt 1$のときは、$1-\sqrt{a}$となるんですね。

つまり、答えは次のように場合分けをして答えることになります。

\begin{eqnarray}
\sqrt{a+1-2\sqrt{a}}
=
\begin{cases}
1-\sqrt{a} & ( 0 \lt a \lt 1 のとき ) \\
\sqrt{a}-1 & ( a \geqq 1 のとき ) \\
\end{cases}
\end{eqnarray}

二重根号の中に文字が入っている場合は、答えが正になるように場合分けをして答えないといけないケースがあります。注意しましょう。

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対象者: 数学I
分野: 数と式
トピック: 実数
レベル: 応用
キーワード: 二重根号
更新日:2016/05/08