【応用】展開したときの係数

ここでは、組合せの応用として、展開したときの係数を求める問題を考えます。これがわかるようになると、 n 乗の式を展開することなく、係数を求めることができるようになります。

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2乗の展開

最終的に $(x+y)^n$ を考えますが、まずは簡単な例から考えていきましょう。\[ (ax+by)(cx+dy) \]を展開するとどうなるでしょうか。これは次のように計算できますね。
\begin{eqnarray}
& &
(ax+by)(cx+dy) \\
&=&
acx^2+(ad+bc)xy+y^2
\end{eqnarray}ここで、 $a=b=c=d=1$ とすると\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \]となります。この xy の係数について考えてみましょう。

xy の係数がなぜ $2$ になるかを、最初の展開の式を見ながら考えると、展開したときに $ad+bc$ が出てくるからですね。展開して xy が出てくるのは、 $ax\cdot dy$ の組合せか、 $by\cdot cx$ の組合せしかありません。

このことを「xyx は、 axcx の2通りある」と考えてみましょう。 x を選ぶと、 y の選ぶ方は自動的に決まってしまいます(ax を選べば dycx を選べば by というように)。 xy の作り方が ${}_2 \mathrm{ C }_1$ 通りあるので、これが xy の係数になる、と考えることができます。

$ax+by$, $cx+dy$ のどちらから x の項を選ぶか、という発想で展開を考えると、 $x^2$ は2つの x を選ぶ、 $xy$ は2つから1つ x を選ぶ、 $y^2$ は どちらも x を選ばない、となります。よって、 $(x+y)^2$ の展開式は\[ (x+y)^2={}_2 \mathrm{ C }_2 x^2 +{}_2 \mathrm{ C }_1 xy +{}_2 \mathrm{ C }_0 y^2 \]と書けることがわかります。たんに展開するのではなく、「展開したときにこの係数になるためには、どのカッコから x を選ぶか」という発想で考えなおしたわけです。

この発想で、3乗も考えてみましょう。

3乗の展開

3乗の展開は、次のようになります。\[ (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \]これを先ほどと同じように、組合せの発想でとらえなおしてみます。

\[ (x+y)^3=(x+y)(x+y)(x+y) \]と書けます。ここで、展開したときに $x^2y$ となるのは、右辺の3つのカッコのうち、2つの x、1つの y を選べばいいことがわかります。つまり、 $x^2y$ が出てくるのは、「左と真ん中のカッコの x と右のカッコの y」「左と右のカッコの x と真ん中のカッコの y」「真ん中と右のカッコの x と左のカッコの y」の3パターンがある、ということです。このことから、 xy の係数は ${}_3 \mathrm{ C }_2$ とも書けることがわかります。

他の係数も同様に考えると、上の展開の式は、次のように書き直すことができます。\[ (x+y)^3= {}_3 \mathrm{ C }_3 x^3 +{}_3 \mathrm{ C }_2 x^2y +{}_3 \mathrm{ C }_1 xy^2 +{}_3 \mathrm{ C }_0 y^3 \]

この発想で、 n 乗を考えてみましょう。

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n乗の展開

\[ (x+y)^n=(x+y)(x+y)\cdots (x+y) \]を展開したときに、 $x^ky^{n-k}$ の係数がどうなるか考えてみましょう。

展開して $x^ky^{n-k}$ が出てくるのは、右辺の n 個のカッコの中から k 個の x を選び、残りは y を $n-k$ 個選んだときなので、個数は ${}_n \mathrm{ C }_k$ となります。よって、これが係数となります。つまり、\[ (x+y)^n = {}_n \mathrm{ C }_n x^n +{}_n \mathrm{ C }_{n-1} x^{n-1}y + \cdots +{}_n \mathrm{ C }_k x^ky^{n-k} +\cdots +{}_n \mathrm{ C }_0 y^n \]と書くことができます。このように書ける、という定理を、二項定理(binomial theorem)といいます。

これから、例えば、 $(x+y)^5$ の $x^2y^3$ の係数は何か、と問われれば、展開することなく ${}_5 \mathrm{ C }_2=10$ と求められます。

また、 $(5x+2y)^5$ の $x^2y^3$ は、「5つの $(5x+2y)$ から2つの $5x$ と3つの $2y$ を選んだときにできる」と考えられるので、 $x^2y^3$ の係数は\[ {}_5 \mathrm{ C }_2 \times 5^2 \times 2^3=2000 \]と求められます。

おわりに

ここでは、 n 乗を展開したときの係数を、組合せを使って表す方法を見てきました。展開しなくても係数が求められるのは便利ですね。

将来、二項定理はまた別の機会にも出てくるので、覚えておきましょう。