【応用】文字の入った絶対値の計算

ここでは、絶対値の中に文字が入っている場合の計算について見ていきます。一次不等式を習っていないので定期テストには出てこないかもしれませんが、入試では普通に出題される内容なので、ここで紹介しておきます。

一次不等式を習っていなくても問題のないようにしていますが、一次不等式を知っているとより理解しやすいと思います。

絶対値の復習

さて、【基本】絶対値で書いた通り、実数の絶対値は、次のように定義されるのでしたね。
\begin{eqnarray}
| x |
=
\begin{cases}
x & ( x \geqq 0 ) \\
-x & ( x \lt 0 )
\end{cases}
\end{eqnarray}絶対値は、中身が0以上か負かによって、外し方が変わってきます。0以上の場合はそのまま、負の場合はマイナスを掛けて外します。

これを踏まえて、次の例題を解いてみましょう。

例題1

【例題】
aの値を求めよ。\[ |a-1|=2 \]

絶対の外し方は、$a-1$ が0以上か負かで変わってきますが、正か負か決まっているわけではありませんよね。$a=2$のときは正だし、$a=0$のときは負です。aの値によって状況が変わるので、場合分けをして考えなくてはいけません。

場合分けは、中身が0以上か、負かで行います。

まずは、中身が0以上のとき、つまり、$a\geqq 1$のときです。このときは、そのまま絶対値を外すことができるので、
\begin{eqnarray}
a-1 &=& 2 \\
a &=& 3
\end{eqnarray}となります。これは、$a\geqq 1$の条件を満たしていますね。なので、これは解になります。

次に、中身が負のとき、つまり、$a\lt 1$のときです。このときは、マイナスをつけて絶対値を外すことになります。
\begin{eqnarray}
-(a-1) &=& 2 \\
-a+1 &=& 2\\
-a &=& 1\\
a &=& -1\\
\end{eqnarray}これは、$a\lt 1$の条件を満たしています。なので、これも解になります。

以上から、求める答えは、$a=3,-1$となります。2つとも答えになります。実際、元の式に代入してみると成り立つことが分かります。

例題2

絶対値が複数ある場合は、それぞれの絶対値が0以上か負かで場合分けします。次の問題を解いてみましょう。

【例題】
xの値を求めよ。\[ |2x|+|x-3|=9 \]

それぞれの絶対値が0以上か負かで場合分けをします。1つ目の絶対値は、$x\geqq 0$ か $x\lt 0$ かで分かれますね。また、2つ目の絶対値は、$x\geqq 3$ か $x\lt 3$ かで分かれます。なので、少しめんどくさいですが、$x\lt 0$、$0\leqq x \lt 3$、$3\leqq x$ の3つの場合分けが必要です。

$x\lt 0$のときは、次のようになります。
\begin{eqnarray}
-2x-(x-3) &=& 9 \\
-2x-x+3 &=& 9\\
-3x &=& 6\\
x &=& -2\\
\end{eqnarray}$x\lt 0$を満たすので、$x=-2$は解になります。

$0\leqq x \lt 3$のときは、次のようになります。
\begin{eqnarray}
2x-(x-3) &=& 9 \\
2x-x+3 &=& 9 \\
x &=& 6 \\
\end{eqnarray}$x=6$という答えが出てきましたが、今考えている範囲は $0\leqq x \lt 3$ なので、これは解にはなりません

最後に、$3\leqq x$のときです。
\begin{eqnarray}
2x+(x-3) &=& 9 \\
3x &=& 12 \\
x &=& 4 \\
\end{eqnarray}$3\leqq x$の範囲を考えているので、$x=4$は解になります。

以上から、$x=-2,4$が解となります。

まとめ

絶対値の中に文字が入っている場合の計算では、次がポイントになります。

絶対値を外すには、絶対値の中身が0以上の場合と負の場合で、場合分けをする

絶対値を外すためには、場合を分けて計算していかなくてはいけません。絶対値を外した後は、普通の計算と同様に解きます。最後に、考えている範囲にあってるかどうかのチェックをすれば答えになります。