なかけんの数学ノート

【基本】零ベクトル

ここでは、零ベクトルについて見ていきます。

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零ベクトル

少し不思議な計算ですが、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }+\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }$ はどうなるでしょうか。【基本】ベクトルの足し算で見た、しりとりのような計算から、これは $\overrightarrow{ \mathrm{ AA } }$ となります。

また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }-\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }$ も、【基本】ベクトルの引き算で見たように、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }+\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }$ と変形でき、これも $\overrightarrow{ \mathrm{ AA } }$ となります。

このようにベクトルの始点と終点が同じ場合、大きさがないので、「ベクトルの世界でのゼロ」という意味で、零ベクトル(れいベクトル, zero vector)と言います。なお、口頭では「ゼロベクトル」と呼ばれることも多いです。

また、数式上では、 $\vec{0}$ と書きます。つまり、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ AB } }+\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }=\vec{0} \]などと書きます。

零ベクトルは大きさがないので、向きも考えません。また、どの点 A に対しても、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AA } }=\vec{0}$ が成り立ちます。

逆ベクトルと零ベクトル

逆ベクトルと零ベクトルについては、次の式が成り立ちます。\[ \vec{a}-\vec{a}=\vec{0} \]$\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{a}$ とすると、
\begin{eqnarray}
\vec{a}-\vec{a}
&=&
\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }-\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\\
&=&
\overrightarrow{ \mathrm{ AA } }\\
&=&
\vec{0}
\end{eqnarray}となることからわかります。

また、零ベクトルについて、次の式が成り立ちます。\[ \vec{a}+\vec{0}=\vec{a} \]これも、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{a}$ とすると、
\begin{eqnarray}
\vec{a}+\vec{0}
&=&
\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }+\overrightarrow{ \mathrm{ AA } }\\
&=&
\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\\
&=&
\vec{a}
\end{eqnarray}となることからわかります。

零ベクトルが出てくる例

例えば、三角形 ABC に対して\[ \overrightarrow{ \mathrm{ AB } }+\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }+\overrightarrow{ \mathrm{ CA } } \]がどうなるかを計算してみましょう。これはしりとりの形になっているので、次のように変形できます。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }+\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }+\overrightarrow{ \mathrm{ CA } } \\
&=&
\overrightarrow{ \mathrm{ AC } }+\overrightarrow{ \mathrm{ CA } } \\
&=&
\overrightarrow{ \mathrm{ AA } } \\
&=&
\vec{0}
\end{eqnarray}このように、引き算が出てこないような状況でも、結果が $\vec{0}$ となることもあります。

おわりに

ここでは、零ベクトルとその性質について見ました。ベクトルを足し引きした結果は、必ずベクトルになります。答えが零ベクトルだった場合に、 $0$ の上に矢印をかくのを忘れないようにしましょう。

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対象者: 数学B
分野: ベクトル
トピック: 平面ベクトル
レベル: 基本
キーワード: ベクトル
更新日:2017/08/04