なかけんの数学ノート

【基本】二次方程式の解と係数の関係

ここでは、二次方程式の解の和と積を、係数を用いてシンプルに表すことができる、という「解と係数の関係」について見ていきます。

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二次方程式の解と係数の関係

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は、\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]で書けるのでしたね(参考:【基本】二次方程式の解と複素数)。係数を使って解を表現するとこのような複雑な形になるのですが、解の和と積については、もっとシンプルな関係が成り立ちます。実際に計算してみましょう。

上の二次方程式の解を、 $\alpha$, $\beta$ で表すと、和は
\begin{eqnarray}
\alpha+\beta
&=&
\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} +\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt]
&=&
\frac{-2b}{2a} \\[5pt]
&=&
-\frac{b}{a} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。これは、実数解のときも虚数解のときも成り立ちます。ルートの部分が打ち消し合うので、実数・虚数によらず、成り立ちます。

また、積は
\begin{eqnarray}
\alpha\beta
&=&
\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \times \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt]
&=&
\frac{(-b)^2 -(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2} \\[5pt]
&=&
\frac{b^2 -(b^2-4ac)}{4a^2} \\[5pt]
&=&
\frac{4ac}{4a^2} \\[5pt]
&=&
\frac{c}{a} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。これも、実数解のときも虚数解のときも成り立ちます。ルートの部分を2乗する部分がありますが、2乗するとルートが外れる、というのは、実数でも虚数でも同じです。なので、実数・虚数によらず、上の関係は成り立ちます。

解は複雑な形ですが、解の和、解の積であればシンプルな形になります。そのため、問題によっては、解を直接考えるのではなく、解の和・解の積を考えたほうがうまくいくことがあります。今後、いろいろなところでこの関係を使うので、まとめておきましょう。

二次方程式の解と係数の関係
二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると、次が成り立つ。\[ \alpha+\beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a} \]

よくある間違いは、和の部分で、マイナスを忘れてしまう、というものです。しかし、解の公式を思い出しましょう。「 $2a$ ぶんの、マイナス $b$ …」という部分が効いてくるのだから、マイナスがつきます。

おわりに

ここでは、二次方程式の解と係数の関係をみました。入試問題をはじめ、いろいろなところで出てくるので、いつでも使えるようにしておきましょう。

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対象者: 数学II
分野: 複素数と方程式
トピック: 複素数と方程式
レベル: 基本
キーワード: 解と係数の関係
更新日:2017/06/13