なかけんの数学ノート

【基本】ベクトル

ここでは、ベクトルとは何か、ベクトルが等しいとはどういうことか、を見ていきます。

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ベクトルとは何か

座標を使って図形を考える場合、各頂点の座標や各直線の方程式を使って、図形をとらえていました。

これは、原点を基準とし、縦軸と横軸で世界を切り分けているわけですね。

ただ、この図形には初めから斜めの線しかないので、斜めを基準にしたほうが便利ではないか、という発想も出てきます(参考:【導入】ベクトルを考える意味について)。

つまり、原点から見るのではなく、 A から見た BA から見た C ととらえる、というわけです。 A を基準にして、そこからどの向きにどれほどの距離だけ離れているか、で他の点を表現するのですね。

このように、向きと大きさで決まるものを、ベクトル(vector) と言います。上の図で、 A から B への向きと、線分 AB の長さを持つベクトルを\[ \overrightarrow{ \mathrm{ AB } } \]と表します。この A を始点、 B を終点と言います。

同様に、 A から C への向きと、線分 AC の長さを持つベクトルは\[ \overrightarrow{ \mathrm{ AC } } \]と表します。

なお、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } } = \vec{b}$ などとおいて、1つの文字でベクトルを表すこともあります。

ベクトルの大きさ

ベクトルは、向きと大きさを持つものなので、向き・大きさを表すものが欲しいですね。向きの表し方はまた後で見ることにして、ここではベクトルの大きさの表し方を見ます。

数字の場合、数字の大きさを表すものとして、絶対値がありました(参考:【基本】絶対値)。ベクトルの場合も、大きさを\[ | \overrightarrow{ \mathrm{ AB } } |, |\vec{a}| \]などと表します。なお、 $| \overrightarrow{ \mathrm{ AB } } |$ とは、線分 AB の長さのことです。

長さが $1$ のベクトルは、単位ベクトル(unit vector) と呼ばれます。基本となる目盛りのようなものなので、これから時々出てきます。

ベクトルが等しいとは

ベクトルというのは、向きと大きさを持ったものです。なので、2つのベクトルの向きと大きさがそれぞれ同じであれば、その2つのベクトルは等しい、と考えます。

例えば、次の図を見てみましょう。

この六角形 ABCDEF は正六角形で、一番長い対角線の交点を O としたものです。このとき、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }$ と等しいベクトルはどれでしょうか。

向きが同じなら、線分 AB と平行になります。なので、直線 CF や直線 DE 上にあるベクトルが、候補となります。

それぞれの小さな三角形は正三角形なので、辺の長さは等しいです。このことから、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }$ と等しいベクトルは、 $\overrightarrow{ \mathrm{ FO } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ ED } }$ であることがわかります。

なお、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ DE } }$ は、等しくありません。 ABDE は長さが同じで平行ですが、この2つのベクトルは向きが反対です。向きが同じでなければ、ベクトルが等しいとはいえません。

おわりに

ここでは、ベクトルそのものについて、また、ベクトルが等しいことがどういうこと、について見てきました。ベクトルとは向きと大きさをもったものなので、両者が同じ場合に等しいということをおさえておきましょう。

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対象者: 数学B
分野: ベクトル
トピック: 平面ベクトル
レベル: 基本
キーワード: ベクトル
更新日:2017/08/06