【基本】三角比と測量

ここでは、三角比の表・値を使って、距離や高さを求める問題を見ていきます。事前に【基本】三角比の定義(直角三角形による定義)を見て、三角比の定義をしっかりおさえておきましょう。

三角比の表

大体、高校数学の教科書や参考書には、「三角比の表」が載っています。形式はバラバラですが、通常は、1度ごとに三角比の値が載っています。

三角比の表を使えば、例えば「 $\sin 25^{\circ}$ はどのくらいの値かな」などと思ったときに調べることができます。逆に、「 $\tan$ が $0.7$ になるときの角度はどのくらいかな」と調べることもできます。

実際の試験では、三角比の表がまるまる与えられるケースはあまりありません。載っていても一部分です。三角比の値が与えられるのは、問題文中で「 $\sin 25^{\circ} = 0.4226$ として計算しなさい」などと指定されるケースが多いです。

例題

次のような問題を考えてみましょう。

【例題】
ある人が、木から 10m 離れた地点に立っている。木の先端の仰角を測ると、25度だった。この人の目の高さを 1.5m として、この木の高さは何m か求めなさい。ただし、答えは小数第二位を四捨五入しなさい。また、必要があれば、次の値を使いなさい。
$\sin 25^{\circ} = 0.4226$, $\cos 25^{\circ} = 0.9063$, $\tan 25^{\circ} = 0.4663$

問題文中にある、仰角(ぎょうかく、elevation angle)は見上げた視線と水平面とのなす角のことを言います。「仰」は「天を仰(あお)ぐ」というように、上を見る時に使います。逆に、見下ろした視線と水平面とのなす角は俯角(ふかく、depression angle)といいます。高い場所から見下ろすことを「俯瞰(ふかん)する」といいますが、その「俯」が使われています。

さて、今の状況を図に描くと、次のようになっています。

basic-trigonometry-applied-01

左に人がいて、右に木がある、という図です。仰角が25度であることと 10m 離れていることが分かっていて、高さが分からない、という状況です。このとき、三角比の中で使えるものは、 $\tan$ ですね。定義を思い出せば正しく選べるはずです。これをもとに、次の計算を行います。
\begin{eqnarray}
& & 1.5 + \mathrm{ BC } \\
&=& 1.5 + \mathrm{ AB } \times \tan \angle \mathrm{ CAB } \\
&=& 1.5 + 10 \times \tan 25^{\circ} \\
&=& 1.5 + 10 \times 0.4663 \\
&=& 6.163 \\
\end{eqnarray}このことから、答えは 6.2m となります。

おわりに

ここでは三角比を使って、木の高さを求める問題を考えてみました。図を描いて、三角比の定義を使えば解けましたね。定義さえちゃんとわかっていれば、すぐに解けるでしょう。