【基本】余角の三角比

ここでは、余角の三角比、つまり、 $90^{\circ}-\theta$ の三角比について見ていきます。

余角

直角三角形の1つの鋭角が $\theta$ の場合、残りの鋭角は $90^{\circ}-\theta$ になりますね。

basic-trigonometric-functions-complementary-angle-01

$\angle A+\angle B=90^{\circ}$ のとき、 $\angle B$ は $\angle A$ の余角(よかく、complementary angle)といいます。

次で見るように、余角の三角比は、元の角の三角比と関係があります。

余角の三角比

元の角の三角比とその余角の三角比とを比べてみます。それぞれ、左下に対象の角度が来るように、図を描いてみます。

basic-trigonometric-functions-complementary-angle-02

図の右側を見ながら、 $90^{\circ}-\theta$ の三角比を見てみましょう。

まずは、 $\sin ( 90^{\circ}-\theta )$ です。 $\sin$ の定義通り考えると、\[ \sin(90^{\circ}-\theta)=\frac{x}{r} \]となります。この式は、元の角度の $\cos$ ですね。なので、次の式が成り立ちます。\[ \sin(90^{\circ}-\theta) = \cos\theta \]もう一度同じ図を見てみましょう。

basic-trigonometric-functions-complementary-angle-02

2つの直角三角形を比べたとき、縦と横が入れ替わっていることに注目すれば、 $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos\theta$ となることは理解しやすいと思います。同じように考えると、 $\cos$ には次のような関係式が成り立つことが分かります。\[ \cos(90^{\circ}-\theta) = \sin\theta \]

最後に、 $\tan$ です。図から考えると、次のようになります。\[ \tan(90^{\circ}-\theta)=\frac{x}{y} \]となります。この式は、元の角度の $\tan$ の逆数ですね。なので、次の式が成り立ちます。\[ \tan(90^{\circ}-\theta) = \frac{1}{\tan\theta} \]

以上をまとめると、余角の三角比は次のようになります。

【余角の三角比】
$\theta$ の三角比と $90^{\circ}-\theta$ の三角比には、次のような関係式がある。

  • $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos\theta$
  • $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin\theta$
  • $\displaystyle \tan(90^{\circ}-\theta) = \frac{1}{\tan\theta}$

例題

余角の三角比を用いた問題を解いてみましょう。

【例題】
三角形の3つの内角の大きさを $A,B,C$ で表したとき、次の式が成り立つことを示しなさい。
(1) $\displaystyle \sin\frac{A}{2} = \cos\frac{B+C}{2}$
(2) $\displaystyle \tan\frac{A}{2} \tan\frac{B+C}{2} = 1$

少し難しいですね。分母に2があることに注目しましょう。 $A+B+C=180^{\circ}$ であることに注意すると、\[ \frac{B+C}{2}=\frac{180^{\circ}-A}{2}=90^{\circ}-\frac{A}{2} \]となります。つまり、余角の三角比が使えるということですね。

(1)は次のようになります。右辺を変形していきます。
\begin{eqnarray}
\cos\frac{B+C}{2}
&=&
\cos\left(90^{\circ}-\frac{A}{2}\right)\\
&=&
\sin \frac{A}{2}\\
\end{eqnarray}となり、左辺と一致します。

(2)は左辺を変形していきます。
\begin{eqnarray}
\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B+C}{2}
&=&
\tan\frac{A}{2}\tan\left(90^{\circ}-\frac{A}{2}\right)\\
&=&
\tan\frac{A}{2} \times \frac{1}{\tan\frac{A}{2}}\\
&=&
1
\end{eqnarray}となり、右辺と一致します。

おわりに

ここでは、余角の三角比について見てきました。直角三角形をかいて見比べれば、関係式は理解できると思います。実際の数式で使うときには、「 $90^{\circ}-\theta$ 」の形を見て、ピンと来ないといけません。