なかけんの数学ノート

【基本】部分集合

【基本】集合とその表し方では、集合やその表し方、要素などについて見てきました。ここでは、2つの集合に対し、片方が片方を含む場合を見ていきます。この記事も、用語や記号の紹介がメインです。

導入

例えば、「日本にある都道府県の集合」というものを考えてみましょう。全部で47の要素からなる集合ですね。また、別の集合として、「関東にある都道府県の集合」も考えてみます。「茨城県、栃木県、群馬県、埼玉県、千葉県、東京都、神奈川県」からなる集合です。

当たり前ですが、「関東にある都道府県」は、「日本にある都道府県」でもあります。東京都も群馬県も、上にあげた7つの要素は、どれも日本にある都道府県ですね。

このように、ある集合のすべての要素が、もう片方の集合に存在しているケースをこの記事では考えていきます。

含む

集合Aのすべての要素が、集合Bに属している場合、「AB含まれる(contained)」といいます。「BAを含む」ともいいます。

例えば、6の正の約数、12の正の約数、8の正の約数の集合を、それぞれA, B, Cとすると、
\begin{eqnarray}
A&=&\{1,2,3,6\} \\
B&=&\{1,2,3,4,6,12\} \\
C&=&\{1,2,4,8\} \\
\end{eqnarray}となります。それぞれの要素を見ると、Aの要素はすべてBに属しています。なので、集合Aは集合Bに含まれる、といえます。

一方、Cの要素のうち、4や8は集合Bにはありません。なので、集合Cは集合Bに含まれる、とはいえません。一部が属しているだけでは、「含む」とはいえません。

ABに含まれる」ことを、記号を用いて $A\subset B$ や $B\supset A$ と書きます。このような関係を包含関係(ほうがんかんけい)といいます。なお、含まれないときは $C \not \subset B$ と書きます。

部分集合

「集合Aが集合Bに含まれる」とき、つまり $A\subset B$ のとき、集合Aは集合B部分集合(subset)といいます。また、使用頻度は低いですが、集合Bは集合Aの上位集合(superset)ということもあります。

少し変な書き方ですが $A\subset A$ が成り立ちます。Aの要素はAに属しているので、当たり前ですね。

また $A\subset B$, $B\subset C$ が成り立っていたとします。このとき、集合Aのどの要素も集合Bに属していて、その要素は集合Cにも属しているため $A\subset C$ が成り立つことが分かります。

別のケースで、$A\subset B$, $B\subset A$ が成り立っている場合を考えましょう。このとき、Aのどの要素もBに属していて、Bのどの要素もAに属しているため、2つの集合は同じ内容になっています。集合の要素がすべて一致するときは $A=B$ と書きます。

$A\subset B$ で2つの集合が一致していないとき、つまり、BにはあるがAにはない要素がある場合は、AB真の部分集合(proper subset)と呼びます。部分集合を扱うときに、”一致しないこと”を強調したいときに使います。

空集合

集合$\{1,2\}$の部分集合を具体的に考えてみましょう。

部分集合というのは、集合に含まれるものなので、$\{1\}$, $\{2\}$, $\{1,2\}$ があります。これらは、元の集合に含まれているので、部分集合ですね。 $\{1,2\}$ もあることに注意しましょう。

実は、部分集合はもう一つあります。それは、「何もない」という集合で、空集合(くうしゅうごう, empty set)といいます。数字で言えば「0」にあたるものといえるでしょう。この空集合は、必ず部分集合になります(証明は少し難しいので、ここではそういうルールなんだ、と考えてください)。記号では、$\varnothing$ と書きます。

つまり、集合$\{1,2\}$の部分集合は、$\varnothing$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{1,2\}$ の4つということです。

まとめ

ここでは、部分集合とそれにまつわる話を書きました。部分集合やその記号、空集合は今後数学を勉強していくうえでいろんなところで出てくるので、内容をおさえておきましょう。

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対象者: 数学I
分野: 集合と命題
トピック: 集合と命題
レベル: 基本
キーワード: 集合
更新日:2016/06/15