【基本】正の数の2乗と不等式の証明

ここでは、不等式の証明問題で、両辺が正になっているものを見ていきます。

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正の数の2乗

不等式の証明問題の中には、「そのままは示しにくいが、両辺を2乗すれば示せそう」というケースがあります。例えば、次のような不等式を考えてみましょう。\[ \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b} \]左辺から右辺を引いたとしても、ルートが邪魔です。しかし、両辺が2乗できれば、ルートが消えて扱いやすくなりそうです。ただ、勝手に2乗をしてもいいのでしょうか

そもそも、2乗をすると、大小関係はどうなるでしょう。 $a\gt b$ ならば $a^2\gt b^2$ といえるのか、また、逆はどうか。これらについて考えてみましょう。

まず、「 $a\gt b$ ならば $a^2\gt b^2$ 」については、 $a,b$ が0以上なら問題ないですね。もし $a,b$ がともに正で、 $a\gt b$ だとしたら、この両辺に $a\ (\gt 0)$ を掛けて\[ a^2 \gt ab \]が得られ、 $b\ (\gt 0)$ を掛ければ\[ ab \gt b^2 \]が得られます。この2つをあわせれば、\[ a^2 \gt b^2 \]が得られます。また、どちらかがゼロだとすると、 $a\gt b$ となるのは、 $a\gt 0$, $b=0$ のときしかないので、 $a^2\gt b^2$ は当然成り立ちます。

$a,b$ が負のときでも「 $a\gt b$ ならば $a^2\gt b^2$ 」が成り立つことはありますが、成り立たないこともあります。例えば、 $a=1$, $b=-2$ のときなどです。「 $a\gt b$ ならば $a^2\gt b^2$ 」は、 $a,b$ がゼロ以上ならいつでも使えますが、他の場合にはいつでも使えるというわけではありません。

次に、逆について、つまり、「 $a^2\gt b^2$ ならば $a\gt b$ 」が成り立つのはどういうときでしょうか。上の話から考えると、 $a,b$ がゼロ以上のときを調べたくなりますね。この場合を考えてみましょう。

$a^2\gt b^2$ という条件式の左辺から右辺を引くと、次のようになります。\[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]条件から左辺は正なので、右辺も正です。また、 $a,b$ がゼロ以上なら、 $a+b$ もゼロ以上です。よって、「ゼロ以上のものに $(a-b)$ を掛けると、正になる」ことがわかります。これから、 $a-b$ が正であることがわかります。このことから、 $a\gt b$ が得られます。

つまり、 $a,b$ がゼロ以上なら、「 $a\gt b$ ならば $a^2\gt b^2$ 」も「 $a^2\gt b^2$ ならば $a\gt b$ 」も成り立つ、ということです。 $\gt$ でなく $\geqq$ のときも同様です。ゼロ以上に限定すれば、 $a^2=b^2$ なら $a=b$ が得られるからです。

まとめると、次のようになります。

正の数の大小関係とその2乗の大小関係
$a,b$ が正のとき、次が成り立つ。
$a\gt b \iff a^2\gt b^2$
$a\geqq b \iff a^2\geqq b^2$

なお、 $a,b$ がゼロ以上のときも同様に成り立つ。

これがあれば、「示したい不等式の両辺がゼロ以上なら、両辺を2乗してもいい」という技が使えるようになるんですね。これは便利です。例題を見てみましょう。

正の数の2乗に関する不等式の証明問題

例題
$a,b$ が正の実数とき、次の不等式が成り立つことを示しなさい。\[ \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b} \]

元の不等式のままだと示しにくいですが、両辺が正なので、2乗したもので考えることができます。

両辺の2乗の差を計算すると
\begin{eqnarray}
& &
(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 -(\sqrt{a+b})^2 \\
&=&
a+2\sqrt{ab}+b -(a+b) \\
&=&
2\sqrt{ab} \\
&\gt&
0
\end{eqnarray}となります。よって、\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \gt (\sqrt{a+b})^2 \]が成り立つことがわかります。 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ も $\sqrt{a+b}$ も正なので、2乗する前の状態の不等式、つまり、\[ \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b} \]が成り立つことがわかります。これで証明終わりです。

このように、両辺が正であることや、ゼロ以上であることがわかっている場合は、両辺を2乗したものを示してもいいんですね。

おわりに

ここでは、不等式の証明問題で、両辺が正になっている場合は、2乗したものを考えて示してもいい、ということを見ました。よく使う技なので、覚えておきましょう。