なかけんの数学ノート

【基本】因数分解

ここでは、基本的な因数分解について見ていきます。ほとんど中学校の復習です。

因数分解

$x(x+1)(x-1)$を展開すると、$x^3-x$ になります。逆に、$x^3-x$ の状態から $x(x+1)(x-1)$ の形に変形することを「因数分解する」といいます。もう少し難しく言うと、次のようになります。

整式を複数の整式の積にすることを、「因数分解する」と言う。

因数分解したときにできるそれぞれの整式を因数と呼びます。

因数分解をすると、式の構成要素が分かるので、その式の性質が分かりやすくなります。

上の例であれば、$x^3-x=0$を満たすxについて考えた場合、$x=0,1$はすぐに出てくるかもしれませんが、$x=-1$は少し気づきにくいんじゃないでしょうか。しかし、$x(x+1)(x-1)=0$であれば、それぞれの構成要素が0になるときを考えればいいので、漏れが発生しにくくなります。

因数分解は展開とは異なり、「機械的にやっていけばいつでもできる」わけではありません。状況に応じて、方法を考えていく必要があります。また、まだ因数分解ができるの状態で答えを書くと、不正解になってしまいます。

ここから先では、因数分解を行う方法について見ていきます。

共通因子でくくる

因数分解でまず行うことは、「共通因子でくくる」ということです。

すべての項に共通している因数を探し、もしあれば
\begin{eqnarray}
AB+AC=A(B+C)
\end{eqnarray}とカッコの外に出します。分配法則を逆に使うわけですね。

例えば、$2xy+4x^2y-8xy^2$ を因数分解してみます。係数の数字はどれも2の倍数です。また、どの項も、$x,y$がそれぞれ1回以上ずつ掛けられています。よって、共通因数$2xy$をくくりだして、次のようにします。
\begin{eqnarray}
2xy+4x^2y-8xy^2 = 2xy(1+2x-4y)
\end{eqnarray}

また、次のように、共通因子がひとかたまりになっていることもあります。
\begin{eqnarray}
& &
(a-b)x +(b-a)y \\
&=&
(a-b)x -(a-b)y \\
&=&
(a-b)(x-y) \\
\end{eqnarray}ここでは、「$a-b$」が共通因子になっている、ということですね。

因数分解の公式

因数分解は展開の逆なので、展開で出てきた公式がそのまま因数分解の公式にもなります。【基本】展開の公式で見た展開の公式のうち、最後のもの以外を載せておきます。

【因数分解の公式】
\begin{array}{l}
1. & a^2 +2ab +b^2 = (a+b)^2 \\
& a^2 -2ab +b^2 = (a-b)^2 \\[5pt]
2. & a^2 -b^2 = (a+b)(a-b) \\[5pt]
3. & x^2 +(a+b)x +ab = (x+a)(x+b) \\[5pt]
\end{array}

1番と2番は、「2乗」の部分を探してから公式が使えるかどうかを判断します。

3番は、「$x^2 +\bigcirc x +\triangle$」の形を見つけます。そして「足して○、掛けて△」となる数字の組合せを探します。「掛けて△」の条件の方が厳しい(組合せが少ない)ので、「掛けて△になる組合せのうち、足して○になるものはないかな」と探すのがいいですね。

例題

次の問題を解いてみましょう。

次の式を因数分解せよ。
(1) $x^2-2x+1$
(2) $4a^2-25b^2$
(3) $x^2+6x+8$
(4) $x^2-2ax-15a^2$

(1)は、公式の1番目を使えばいいですね。
\begin{eqnarray}
x^2-2x+1=(x-1)^2
\end{eqnarray}となります。

(2)は、2乗引く2乗なので、2番の公式です。
\begin{eqnarray}
4a^2-25b^2 = (2a+5b)(2a-5b)
\end{eqnarray}

(3)は、3番の公式です。足して6、掛けて8なので、2と4の組合せであることが分かります。
\begin{eqnarray}
x^2+6x+8 = (x+2)(x+4)
\end{eqnarray}

(4)は、$a$が入っていますが、3番目の公式を使います。足して$-2a$で、掛けて$-15a^2$です。いろいろ試してみると、$-5a$と$3a$の組合せであることが分かります。
\begin{eqnarray}
x^2-2ax-15a^2 = (x-5a)(x+3a)
\end{eqnarray}

ここまでは、ほとんど中学校の復習です。ここから、もう少し難しいケースにも挑戦していきましょう。次は、たすき掛けを使った因数分解を見ていきます(【基本】たすき掛けを使った因数分解)。

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対象者: 数学I
分野: 数と式
トピック: 展開と因数分解
レベル: 基本
キーワード: 式の計算
更新日:2016/06/13