【基本】同類項と降べきの順

【基本】整式とそれに関連する用語では、整式に関連する用語をまとめましたが、ここでは「式を整理すること」についてまとめていきます。

同類項

「式の整理」とは、簡単に言ってしまえば、「まとめる」と「並べる」の2つです。まずは、「まとめる」からみてみます。

整式の中で、文字の部分が同じ項を「同類項」(similar terms)と言います。

例えば、「$a^2+ab-b^2+2ab+3b^2$」の場合、「$ab$と$2ab$」「$-b^2$と$3b^2$」がそれぞれ同類項になります。

同類項は計算できるので、まとめてしまいます。
\begin{eqnarray}
& &
a^2+ab-b^2+2ab+3b^2 \\
&=&
a^2+(ab+2ab)+(-b^2+3b^2) \\
&=&
a^2+3ab+2b^2 \\
\end{eqnarray}とします。

試験で答えを書くときに、同類項をまとめていない場合は、不正解となります。「計算の途中」だと認識されてしまいます。なので、必ず同類項をまとめてから答えを書くようにしましょう。

降べきの順

項が複数ある式では、どういう順番に並べるのか、たくさんパターンがありますよね。足す順番を変えても答えは一緒なので、$x^2+x+1$ も $x+1+x^2$ も $1+x^2+x$ も式としては同じ内容です。

しかし、普通は、一番先頭の次数を一番高くして、徐々に低くなるように並べます。このような並べ方を「降冪(こうべき)の順」と呼びます。「べき」というのは、次数(文字の右上の数)のことです。先に行くほど、次数が下がっていく順番、ということですね。上の例では、降べきの順に並べると「$x^2+x+1$」になります。

逆に、一番先頭の次数が一番低く、徐々に高くなる並べ方は、「昇冪(しょうべき)の順」といいます。上の例であれば、「$1+x+x^2$」です。ただ、このように並べることは少ないです。

試験で答えを書くときは、「降べきの順」で答えを書くのがいいです。降べきの順でなかったからといって、不正解にはならないかもしれませんが、降べきの順にしておくと計算間違いが防げます。順番に並べることで、同類項が見つけやすくなるからです。なので、何も言われていなくても「降べきの順」で書きましょう。

複数の文字がある場合の並び順

文字が一種類しかない多項式の場合は、降べきの順に並べるのは簡単です。しかし、文字が複数だと、やっかいです。

例えば、$x^2+xy+y^2+x+y+1$ という式があった場合、どうならべるのがいいのでしょうか。

まずは、「1つの文字に着目する」というやり方があります。

例えば、$x$について着目します。つまり、$x$以外は(文字であっても)すべて定数とみなす、ということです。そして、係数の中で、また降べきの順に並び替えます。結果はこうなります。
 $x^2+(y+1)x+y^2+y+1$

$y$に着目して整理することも可能で、そうした場合は次のようになります。
 $y^2+(x+1)y+x^2+x+1$

試験では、このように、各文字について着目して順番に並べていく方法なら、不正解になることはないでしょう。ただ、複数の文字がある場合は、厳密なルールはなくて、式の前の方に次数が高いものを、後の方に次数が低いものをもってくる並び方でも問題ありません。$x^2+xy+y^2+x+y+1$ でもOKです。

$x^2+xy+y^2+x+y+1$ の場合は、前3つの項が2次、次の2つの項が1次、最後が定数項です。そして、それぞれの塊の中で、$x$の降べきの順になっています。

なお、文字同士の積はアルファベット順に書くのが普通です。$xy$を$yx$と書くことは、普通はありません。

まとめ

定期テストでは「降べきの順にせよ」という問題が出ることはありますが、入試ではほぼ出ません。しかし、同類項を見つけやすくして、計算間違いを防ぐことができるので、指示がなくても降べきの順で解答するようにしましょう。