【基本】集合とその表し方

ここでは、集合とその表し方、要素などについて見ていきます。数式はほとんど出てこなくて、言葉の紹介がほとんどです。

集合

嵐のメンバーは、大野、櫻井、相葉、二宮、松本の5人です。5人は、それぞれ単独での活動もしていますし、5人での活動もしています。5人が集まったときは、5人をまとめて「嵐」と呼びます。5人を呼ぶときに、毎回5人全員の名前は呼びませんよね。

数学でも、いくつかの数字をまとめて、話をしたいことがあります。そのときに、「集合」というものを使います。集合(set)とは、「何か」を集めたものです。高校数学では「ある条件を満たした数字」を集めることが多いのですが、数字でなくてもかまいません。例えば、三角形を集めて「三角形の集合」というのを考えることもできます。何でもかまいません。

集合は、「何かを集めたもの」ですが、その集合に入るか入らないかははっきりしていないといけません。例えば、「大きい数字の集合」とか「不吉な数字の集合」などは、中身がはっきり決まらないので、数学の世界ではこのようなものは考えません。

要素

集合を構成する1つ1つの「もの」を、要素(element)と言います。冒頭の嵐の例を数学風に言えば、「”嵐”という集合は、大野、櫻井、相葉、二宮、松本の5つの要素から構成されている」となります。

なお、要素は元(げん)と呼ばれることもあります。

属する

ある要素がその集合の中に存在しているとき、その要素はその集合に属する(belong to)といいます。また、このような関係のことを、帰属関係(きぞくかんけい)と呼びます。

次の文章は、どれも同じ意味です。

  • aは集合Aに属する
  • aは集合Aの要素である
  • 集合Aaを要素として持つ

また、これらのことを、記号を使って $a\in A$ と書きます。冒頭の嵐の例でいうと、
「二宮 $\in$ 嵐」
となります。あまりしませんが $A\ni a$ という書き方でも同じ意味になります。

なお、属さないときは $a\notin A$ と書きます。

集合の表し方

集合とは何かを集めたものなので、何が集まっているかを書かないとどんな集合なのかわかりません。ここでは集合の表し方を紹介しますが、その方法は2種類あります。

1つ目は、構成要素をすべて書き出して、波かっこで囲む方法です。例えば、5以下の自然数の集合を集合Aとすると、Aは次のように表すことができます。\[ A = \{ 1,2,3,4,5 \} \]先ほど紹介した、属す、属さないの記号を使えば $3\in A$, $0\notin A$ などとなります。

また、「全部は書けないけど、書かなくてもわかるでしょ?」というときは「$\cdots$」を使って省略することもできます。例えば、0から100までの偶数の集合は、\[\{0,2,4,\cdots,100\}\]と書けます。3で割り切れる正の整数の集合は\[ \{ 3,6,9,\cdots \} \]となります。省略するときは、内容が明らかな場合にしか使えません。

2つ目の方法は、次のような方法です。\[ \{x \mid 0\lt x\lt 2\} \]これにより、縦棒の右側の条件を満たすものからなる集合を表すことができます。この例でいえば、0より大きく2より小さい数字の集合、ということです。また、正の奇数の集合は、次のように書けます。\[ \{ 2n-1 \mid n=1,2,3,\cdots \} \]これは、縦棒の右側の条件、つまり自然数nに対して $2n-1$ の計算結果を集めたもの、ということになります。なので、正の奇数の集合ということになるんですね。

ちなみに、覚える必要はありませんが、1つ目の書き方を「外延的記法」、2つ目の書き方を「内包的記法」といいます。

まとめ

ここでは、集合とその表し方や、要素、属するについて見てきました。ここで紹介したことは、知っていたから何かが解けるというわけではありません。しかし、これから数学をやっていくうえで、説明などで頻繁に出てくる言葉や記号なので、何を表しているかはしっかりおさえておきましょう。