なかけんの数学ノート

【基本】二次不等式(判別式が正のとき)

ここでは、グラフを使って二次不等式を解く方法を見ていきます。グラフが x 軸と2点で交わる場合を考えます。

【目次】

例題1

【例題】
次の二次不等式を解きなさい
(1) $x^2 \lt 4$
(2) $-x^2 +2x +2 \leqq 0$

まず(1)ですが、二次方程式のように $x\lt \pm 2$ とすることはできません。 $x\lt -2$ の値を考えれば、 $x^2\lt 4$ を満たさないので、間違いだとわかります(そもそもこんな書き方はありません)。

このような二次不等式は、 $x^2-4 \lt 0$ と変形してから、 $y=x^2-4$ のグラフをかいて考えるとわかりやすくなります。 x 軸上の点の y 座標は0なので、グラフが x 軸よりも下に来る範囲を求めればいいからです。このような考え方は、【基本】一次不等式と一次関数のグラフで紹介しています。

basic-quadratic-inequality-positive-d-01

グラフは上のようになります。$x^2-4=0$ の解は $x=\pm 2$ なので、x 軸との交点もグラフ中にあるとおりです。

ここで、 $x^2-4 \lt 0$ となるのは、 $y=x^2-4$ が x 軸より下に来る範囲なので、グラフから $-2\lt x \lt 2$ となることがわかります。これが答えとなります。

basic-quadratic-inequality-positive-d-02

例題2

【例題】
次の二次不等式を解きなさい
(1) $x^2 \lt 4$
(2) $-x^2 +2x +2 \leqq 0$

次は(2)です。これも(1)と基本的な流れは同じです。

このまま考えてもいいのですが、 $x^2$ の係数が負なので、全体に $-1$ を掛けておいた方が分かりやすくなると思います。\[ x^2-2x-2 \geqq 0 \]を考えます。

まず、 $y=x^2-2x-2$ と x 軸との交点を求めておきましょう。解の公式から次のようになります。
\begin{eqnarray}
x
&=&
\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times(-2)}}{2} \\
&=&
1\pm\sqrt{1+2} \\
&=&
1\pm\sqrt{3} \\
\end{eqnarray}このことから、グラフをかくと次のようになります。

basic-quadratic-inequality-positive-d-03

このグラフから、 $x^2-2x-2 \geqq 0$ の範囲を考えるには、グラフが x 軸上かそれより上にあればいいので、答えは次のようになります。\[ x\leqq 1-\sqrt{3}, \quad x\geqq 1+\sqrt{3} \]2つの区間が答えになります。

まとめ

ここでは、二次関数のグラフが下に凸で x 軸と2点で交わっているとき(判別式 D が正のとき)の、二次不等式について見てきました。また、上に凸の場合は、不等式にマイナスを掛けて、下に凸になるようにしました。

このときの答えを一般的にまとめると、次のようになります。

$a\gt 0, D\gt 0$ とし、二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2つの実数解が $x=\alpha,\beta$ とする(ただし、 $\alpha \lt \beta$)。このとき、次が成り立つ。

  • $ax^2+bx+c \lt 0$ の解は、 $\alpha \lt x \lt \beta$
  • $ax^2+bx+c \leqq 0$ の解は、 $\alpha \leqq x \leqq \beta$
  • $ax^2+bx+c \gt 0$ の解は、 $x\lt\alpha, \quad x \gt \beta$
  • $ax^2+bx+c \geqq 0$ の解は、 $x\leqq\alpha, \quad x \geqq \beta$

basic-quadratic-inequality-positive-d-04

この一覧は覚える必要はありません。グラフをかいて考えられるようにしておきましょう。

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対象者: 数学I
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: 基本
キーワード: 二次不等式
更新日:2016/08/25