【基本】展開の公式

ここでは、式の計算でよくでてくる展開に関する公式を見ていきます。多くは中学校で学んだものの復習です。

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展開

式を展開する(expand)」というのは、簡単にいうと式にあるすべてのカッコを外すことです。少し難しく言うと、次のようになります。

展開
複数の整式の積を一つの整式で表すことを、「整式を展開する」という。

$A(B+C)=AB+AC$ や $(A+B)C=AC+BC$ といった、分配法則を繰り返し使えば、展開はいつでも行うことができます。

展開の公式

式を展開するときに、その都度計算しても問題ありません。しかし、よく使うものは公式として覚えておいた方が早く計算できます。すでに習っているものもありますが、まとめておきます。

展開の公式
\begin{array}{l}
1. & (a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2 \\
& (a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2 \\[5pt] 2. & (a+b)(a-b) = a^2 -b^2 \\[5pt] 3. & (x+a)(x+b) = x^2 +(a+b)x +ab \\[5pt] 4. & (ax+b)(cx+d) = acx^2 +(ad+bc)x +bd \\
\end{array}

なお、3番4番は右辺にカッコが残っていますが、実際には、a, b, c, d には数字が入って同類項をまとめる計算をするので、最終的にカッコは消えます。

それぞれの公式が成り立つことは、直接計算することで確かめられます。例えば、一番最後の式を地道に展開してみましょう。
\begin{eqnarray}
& &
(ax+b)(cx+d) \\
&=&
ax(cx+d) +b(cx+d) \\
&=&
acx^2+adx +bcx+bd \\
&=&
acx^2 +(ad+bc)x +bd
\end{eqnarray}このように直接確かめることができます。

展開の公式を使った計算

上で紹介した公式を使って、いくつか計算をしてみましょう。

例題
次の式を展開せよ。
(1) $(x-1)^2$
(2) $(2a+5b)(2a-5b)$
(3) $(3x-4)(2x+1)$

(1)は、公式の1番を使えばOKですね。
\begin{eqnarray}
(x-1)^2 = x^2-2x+1
\end{eqnarray}

(2)は、2番の公式です。
\begin{eqnarray}
(2a+5b)(2a-5b)
&=&
(2a)^2-(5b)^2 \\
&=&
4a^2 -25b^2
\end{eqnarray}

(3)は、4番の公式を使います。
\begin{eqnarray}
(3x-4)(2x+1)
&=&
6x^2+(3-8)x-4 \\
&=&
6x^2-5x-4
\end{eqnarray}

おわりに

ここに出てきたような計算は、これから頻繁に出てきます。「公式を覚えよう」としなくても、何度も計算しているうちに、自然と身についていくでしょう。