【基本】整式の加法と減法

ここでは、整式の加法・減法について、まとめていきます。中学校で習ったことの復習です。

計算の法則

数式の計算では、次の法則が成り立ちます。

交換法則(commutative property) は、「入れ替えても同じ」ということです。マイナスの符号がついているときは、符号ごと入れ替えないといけないことに注意が必要です。つまり、「$A-B$」の場合は、「$A-B=-B+A$」になるということですね。計算間違いしやすいポイントです。

結合法則(associative property) は、「計算する順番を変えても同じ」ということです。計算する順番を変えても、答えには影響しません。

これらは、数の計算では成り立ちますが、整式の計算でも成り立ちます。法則の名前を覚える必要は特にありませんが、計算はできるようになりましょう。計算方法を覚えるというよりも、「計算しやすいように使いこなせるようになる」のが理想です。

整式の加法と減法

整式同士の和や差は、同類項をまとめるだけです。

例えば、「$3x^2+x-1$」と「$5x+2$」の和と差は、それぞれ次のようになります。
\begin{eqnarray} & & (3x^2+x-1)+(5x+2) \\ &=& 3x^2+(1+5)x+(-1+2) \\ &=& 3x^2+6x+1 \\ \\ & & (3x^2+x-1)-(5x+2) \\ &=& 3x^2+x-1 -5x-2 \\ &=& 3x^2+(1-5)x+(-1-2) \\ &=& 3x^2 -4x -3 \\ \end{eqnarray}差の方は、カッコの前の「$-1$」をかっこの中全体に掛けることを忘れないようにしましょう。「2項目以降に掛け忘れる」という間違いが多いので注意しましょう。

整式の加法と減法その２

整式同士の和や差について、少し応用したものも紹介します。

分母の違う分数の計算と同様に、まずは通分してから計算します。
\begin{eqnarray} & & \frac{x^2+x}{2} -\frac{x^2+x-1}{3} \\[5pt] &=& \frac{3(x^2+x) -2(x^2+x-1)}{6} \\[5pt] &=& \frac{ 3x^2 +3x -2x^2 -2x +2 }{6} \\[5pt] &=& \frac{ x^2 +x +2 }{6} \\ \end{eqnarray}このようになります。カッコの前のマイナスには注意しましょう。

また、次のようなパターンの問題もあります。

いきなり正直に代入してはいけません。代入してから式を整理するのは大変なので、まずは代入先の式を整理することを考えます。
\begin{eqnarray} & & 3A-\{ 2(A+B) -B\} \\ &=& 3A-( 2A+2B -B) \\ &=& 3A-( 2A+B) \\ &=& 3A-2A-B \\ &=& A-B \\ \end{eqnarray}このように変形できます。こうしてから代入するほうが計算が楽ですね。代入すると、次のようになります。 \begin{eqnarray} & & A-B \\ &=& (x^2+2x+2)-(3x^2-x-3) \\ &=& x^2+2x+2-3x^2+x+3 \\ &=& -2x^2 +3x +5 \\ \end{eqnarray}代入するときは、カッコをつけるようにすると、符号の間違いが減るでしょう。

おわりに

ここでは、整式の加法・減法について見てきました。特に、マイナスの扱いには注意して計算しましょう。

整式の和や差は整式になりますが、整式同士の積も整式となります。整式の乗法は、【基本】整式の乗法で見ていきます。