なかけんの数学ノート

【基本】分数式の掛け算・割り算

ここでは、分数式の掛け算・割り算について見ていきます。基本的には、分数の掛け算・割り算と同じです。

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分数式の掛け算

分数同士の掛け算は、分母同士、分子同士を掛けます。例えば、 $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{4}{5}$ であれば、分母同士、分子同士を掛けて\[ \dfrac{1}{3}\times\dfrac{4}{5} = \dfrac{1\times 4}{3\times 5} =\dfrac{4}{15} \]と計算しましたね。

分数式(参考:【基本】分数式)の場合も同様です。分母同士、分子同士を掛けて、計算します。なので、\[ \frac{a}{b} \times \frac{x}{y} = \frac{ax}{by} \]となります。

約分ができる場合は、約分も行います。なので、\[ \frac{(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+2)} \times \frac{x+2}{x+3} \]であれば、 $x+2$ と $x+3$ で約分をして\[ \frac{x+4}{x+1} \]が答えとなります。分母同士、分子同士を掛けるのが基本ですが、約分できる場合は約分を先にしましょう。その方が、掛ける回数が減るので楽です。

約分ができるかどうかを判断しやすくするため、分母・分子が因数分解されていない場合は、まず因数分解をしてから計算するようにしましょう。例えば、\[ \frac{x^2-x-6}{y^2+y} \times \frac{y}{x+2} \]であれば、まずは、分母・分子を因数分解して、次のように計算していきます。
\begin{eqnarray}
& &
\frac{x^2-x-6}{y^2+y} \times \frac{y}{x+2} \\[5pt]
&=&
\frac{(x+2)(x-3)}{y(y+1)} \times \frac{y}{x+2} \\[5pt]
&=&
\frac{x-3}{y+1} \\[5pt]
\end{eqnarray}これが答えとなります。

答えるときには、分母・分子は、完全に展開した形か、これ以上因数分解できない形か、どちらかで答えます。また、約分ができる場合は、これ以上約分ができないという状態(既約分数式か、整式)にしないといけません。

なので、分数式の掛け算の場合は、分母・分子を因数分解し、分母同士・分子同士を掛けて、因数分解した状態で答えるのがいいでしょう。

分数式の割り算

分数の割り算は、割る数の逆数を掛けて計算するのでしたね。例えば、 $\dfrac{1}{3} \div \dfrac{2}{5}$ であれば、 $\dfrac{2}{5}$ の逆数である $\dfrac{5}{2}$ を掛けて、\[ \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{2}=\frac{5}{6} \]と計算します。

分数式の割り算も同様です。割る式の分母・分子を入れ替えて掛けます。\[ \frac{xy^2}{3a^2b^3c} \div \frac{2xy}{5a^2bc^2} \]であれば、次のように計算します。
\begin{eqnarray}
& &
\frac{xy^2}{3a^2b^3c} \div \frac{2xy}{5a^2bc^2} \\[5pt]
&=&
\frac{xy^2}{3a^2b^3c} \times \frac{5a^2bc^2}{2xy} \\[5pt]
&=&
\frac{5cy}{6b^2}
\end{eqnarray}これが答えとなります。

また、因数分解をしてから計算する、という点は、割り算も掛け算も同じです。\[ \frac{x^2-x-2}{x+3} \div \frac{x-2}{x^2+4x+3} \]を計算してみましょう。
\begin{eqnarray}
& &
\frac{x^2-x-2}{x+3} \div \frac{x-2}{x^2+4x+3} \\[5pt]
&=&
\frac{x^2-x-2}{x+3} \times \frac{x^2+4x+3}{x-2} \\[5pt]
&=&
\frac{(x+1)(x-2)}{x+3} \times \frac{(x+1)(x+3)}{x-2} \\[5pt]
&=&
(x+1)^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}これが答えとなります。これからもわかる通り、答えが分数の形になるとは限りません。

おわりに

ここでは、分数の掛け算・割り算について見てきました。一般的な形でまとめておきましょう。

分数式の掛け算・割り算
分数式の掛け算、割り算は次のようにして計算する。
\[ \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \]\[ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC} \]

基本的な計算方法は、分数のときと同じですが、因数分解をしてから計算する点には注意しましょう。

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対象者: 数学II
分野: 式と証明
トピック: 式の計算
レベル: 基本
キーワード: 式の計算
更新日:2017/05/04