【基本】ベクトルの内積

ここでは、ベクトルの内積について見ていきます。

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ベクトルの内積の導入

ベクトルを学ぶ前は、縦と横の2つの軸を使う(つまり、 x 軸と y 軸を使う)ことしかできませんでしたが、ベクトルを学べば、自由に軸を導入することができます。平行でない2つの軸を使えば、どんなベクトルでも1通りに分解できることから、これらを新しい軸のように扱えるんですね(参考:【基本】ベクトルの分解)。

今まで使っていた、 x 軸と y 軸は、垂直に交わっていますが、ベクトルの世界では、軸として用いている2つのベクトルが、垂直に交わっているとは限りません。そのため、これらがどれだけ同じような方向を向いているか、という情報があると便利です。

ベクトルの向きは、図をかく以外に、成分を使って考えることもできます(参考:【基本】ベクトルの成分)。そのため、2つのベクトルを成分で表示して向きを比べる、というやり方も考えられますが、もっと直接的に、「2つのベクトルの類似度」のようなものが、パッとわかった方が便利です。

ベクトルの内積は、この「類似度」を表すものです。同じ方向ならマックス、全く逆の方向ならミニマム、となっているとわかりやすいですよね。そのため、2つのベクトルからできる角の $\cos$ を使うのがいいですね。 $0^{\circ}$ なら $1$ で、 $180^{\circ}$ なら $-1$ です。その間の角は、この間の値をとります(参考:【基本】よく出る0度から180度までの三角比の値)。この値が使えそうです。

「内積」という言葉から考えると、ベクトルとベクトルを掛けるのかな、と思うかもしれませんが、向きがあるので普通の掛け算のようにはいきません。実際には「類似度」を表すものだと考えてください。

以上を踏まえて、以下ではベクトルの内積の定義を見ていきます。

ベクトルの内積

$\vec{0}$ でない2つのベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ があるとします。

2つのベクトルの始点が合うようにして、始点を O とし、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{a}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }=\vec{b}$ となるように、 A, B をとります。また、 $\angle \mathrm{ AOB }$ を $\theta$ ( $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ )とします。

この $\theta$ のことを、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角、といいます。等しいベクトルはすべて平行なので、始点をどこにして考えても、なす角はもちろん同じになります。

このとき、 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ のことを、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積(inner product) と呼び、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ で表します。なお、間にある「 $\cdot$ 」は省略できません。また、数字の掛け算とも違うので、 $\cdot$ を $\times$ と書いてもいけません。

つまり、内積は、ベクトルの長さと角度(向きの類似度)によって決まる値だ、ということです。同じ長さのベクトルであれば、内積は、同じ向きのときに最大、反対の向きのときに最小、となります。

ベクトルの内積
$\vec{0}$ でない2つのベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ に対し、なす角を $\theta$ とする。このとき、 $\vec{a}$, $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、次で定義される。\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \]

なお、どちらかが $\vec{0}$ なら、内積は $0$ とします。このときの、なす角は考えません。

また、内積は、数字です。内積自体は向きを持ったものではないため、ベクトルではありません。注意しましょう。

具体的に内積を計算してみましょう。

上のような場合、長さと角度が分かっているので、
\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \vec{b}
&=&
|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \\[5pt] &=&
2\cdot3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\[5pt] &=&
-3
\end{eqnarray}となります。

これだけを見ると、内積を考える「良さ」があまりわかりません。しかし、将来、「ベクトルの成分から内積を求め、なす角を求める」「垂直であることを示すために、内積が $0$ であることを示す」などといった使い方を見ます。内積は2つのベクトルのなす角の情報を持ったものなので、「角度」に関する図形問題などで応用する場面がたくさん出てきます。

おわりに

ここでは、ベクトルの内積について見てきました。はじめのころは、これが何を意味しているのか、考えてどうなるのかがわかりにくいです。しかし、将来、図形問題などで大活躍しますので、そのときに便利さが実感できると思います。