【基本】相加・相乗平均の関係

ここでは、不等式の問題でよく見かける、相加・相乗平均の関係について見ていきます。

【広告】

相加・相乗平均の関係の証明

例題
$a \gt 0$, $b \gt 0$ のとき、次が成り立つことを示しなさい。また、等号が成り立つときがいつか、答えなさい。\[
\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \]

右辺にはルートがあって邪魔ですね。できれば消えてほしいです。このような場合は、【基本】正の数の2乗と不等式の証明で見たように、両辺を2乗して示すことができます。 $a \gt 0$, $b \gt 0$ という条件から、両辺が正であることがわかるので、両辺を2乗して考えてもいいんですね。

ただ、この不等式の場合は、そのまま式変形をしていくこともできます。左辺から右辺を引いて、ゼロ以上であることを示してみましょう。ゼロ以上であることを言うには、何かの2乗になることを示せばいい、という発想から、次のように変形できます。
\begin{eqnarray}
& &
\frac{a+b}{2} -\sqrt{ab} \\[5pt] &=&
\frac{1}{2} (a-2\sqrt{ab}+b) \\[5pt] &=&
\frac{1}{2} (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \\[5pt] &\geqq&
0
\end{eqnarray}正ではない $-2\sqrt{ab}$ の部分を消すために、 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ を持ち出すところが少し難しいですね。 $a$ を見て $\sqrt{a}$ の2乗だ、とはなかなか気づきません。ただ、この変形が思いつかなくても、左辺の2乗から右辺の2乗を引く方法で示すこともできます。

さて、等号成立条件について考えましょう。等号が成り立つのは、最後の部分で等号が成り立つとき、つまり、 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$ のときですね。言い換えれば、 $a=b$ のときです。このときに等号が成立します。

相加・相乗平均の関係

上で示した不等式は、有名な不等式であり、特別な名前がついています。

まず、左辺の式 $\dfrac{a+b}{2}$ は、相加平均(arithmetic mean) といいます。算術平均など、他にも呼び方がありますが、平均といえば普通はこの「足して2で割る」ものを指しますよね。

右辺の式 $\sqrt{ab}$ は、相乗平均(geometric mean) といいます。このような形に「平均」という名前がついているのは、少し変に感じる人がいるかもしれません。しかし、次のように考えてみましょう。

相加平均の場合、2倍すると元の数の和になります。一方、相乗平均の場合は、2乗すると元の数の積になります。こうした対応から、前者を和の意味での平均、後者を積の意味での平均ということで、それぞれ、相加平均、相乗平均、と呼びます。こう考えると、相乗平均に「平均」とついていても、違和感はないでしょう。

そして、上で示した不等式は、「相加平均は、相乗平均以上になる」ことを示しています。両者の平均には、このような関係があるんですね。この関係のことを、相加・相乗平均の関係(inequality of arithmetic and geometric means) といいます。

この関係に使っている条件は、 $a,b\gt 0$ だけです。途中でルートが出てくるのでこの条件を使っています。しかし、これだけの条件から、「相加平均は、相乗平均以上になる」ことが言えるのは、とても強力な武器になります。今後、この関係はいろんなところで使います。あらためて、まとめておきましょう。

相加・相乗平均の関係
$a\gt0$, $b\gt0$ のとき、次の不等式が成り立つ。\[ \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \]等号が成り立つのは、 $a=b$ のときである。

なお、「相加・相乗平均の関係」には、いろんな言い方があります。長いので、口頭では、単に「相加相乗」としか言わないこともあります。また、教科書によっては、「相加平均と相乗平均の大小関係」という丁寧な言い方をしているものもあります。試験でこの関係を使う場合は、「相加平均と相乗平均の大小関係」と書くべきかもしれませんが、「相加・相乗平均の関係」と書いても問題はないでしょう。「相加相乗」だけだと、省略しすぎかもしれません。

英語圏では、相加平均のことを arithmetic mean というため AM と略し、相乗平均のことを geometric mean というため GM と略し、「相加・相乗平均の関係」のことを AM–GM inequality と省略して書くこともあります。

また、「相加・相乗平均の関係」は、\[ a+b \geqq 2\sqrt{ab} \]の形で使うこともよくあります。もはや平均の形になっていませんが、両辺を2倍したものだとすぐにわかるため、問題ありません。

おわりに

ここでは、不等式の問題でよく使われる、相加・相乗平均の関係について見てきました。少ない条件で成り立つ使う安い関係のため、不等式に限らずいろんなところで出てきます。