なかけんの数学ノート

【基本】恒等式と係数比較

ここでは、与えられた式が恒等式になるようにするには、どうすればいいかを考えます。「係数比較」という方法を使って考えていきます。

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いつ恒等式になるか

例題
次の式\[ x^2=a(x-1)^2+b(x-1)+c \]が x についての恒等式になるとき、定数 a, b, c の値を求めなさい。

恒等式とは、変数がどんな値でも成り立つ等式のことでした(参考:【基本】恒等式)。そのため、2つの式はまったく同じ式になるはずです。

今、左辺はこれ以上簡単にはできませんが、右辺は展開をして整理することができます。
\begin{eqnarray}
& &
a(x-1)^2+b(x-1)+c \\
&=&
ax^2 -2ax +a +bx -b +c \\
&=&
ax^2 +(-2a+b)x +a-b+c \\
\end{eqnarray}これが、左辺の $x^2$ と一致するのだから、
\begin{eqnarray}
a=1 \\
-2a+b=0 \\
a-b+c=0
\end{eqnarray}の3つが成り立てばいいことがわかります。これらを解いて、 $a=1$, $b=2$, $c=1$ が得られます。これが答えとなります。

係数比較

実は、上の解き方では、重要なことをこっそり使っています。それは、\[ x^2 = ax^2 +(-2a+b)x +a-b+c \]が恒等式なら、係数はすべて同じだ、ということ、そして、係数が違う場合は、恒等式にはならない、ということです。

実際、これは成り立つのですが、これについて、もう少し詳しく考えてみましょう。

この式を移行すれば、次の式が得られます。\[ (a-1)x^2 +(-2a+b)x +a-b+c=0 \]これが恒等式のとき、各係数が $0$ であることが示せればいいですね。

式が長いので、\[px^2 +qx +r =0\]とおきなおしましょう。これが恒等式なら、 x に何を入れてもいいはずなので、まず $x=0$ としてみましょう。そうすると、 $r=0$ が得られます。

また、 $x=1$, $x=-1$ とすると、それぞれ $p+q=0$, $p-q=0$ が得られます。両者を足せば $p=0$ が得られ、これから $q=0$ が得られます。

つまり、\[px^2 +qx +r =0\]が恒等式なら、係数はすべて $0$ であることがわかります。よって、\[ x^2 = ax^2 +(-2a+b)x +a-b+c \]が恒等式なら、係数はすべて同じであり、そのときにしか恒等式にならない、ということがわかるんですね。

このことは、二次の場合だけでなく、一般的な整式に対しても、成り立ちます。

恒等式の係数比較
ある整式が恒等的に0なら、その整式の係数はすべて0である。
また、2つの整式が恒等的に等しいなら、その2つの整式の同じ次数の項の係数は、それぞれ等しい。

一般的なケースでの証明を現時点で示すのは難しいので、ここではやりません。ただ、二次の場合は上で示した通りです。今後主に出てくるのは三次や四次の場合ですが、これらの場合も、二次のときと同じように、適当な値を代入して示すことができます。

このことから、2つの整式が恒等的に同じであれば、両者を展開して、各次数の項の係数を比較すればいいことがわかります。このようにして恒等式の係数を比較することを、そのままですが、「係数比較をする」といいます。

係数比較ができない例

冒頭の解き方では、\[ x^2 = ax^2 +(-2a+b)x +a-b+c \]が恒等式なら、係数はすべて同じだ、ということ、そして、係数が違う場合は、恒等式にはならない、ということを使っていました。これは整式だから成り立ちますが、一般的にこう言えるとは限りません。

例えば、\[ |x| = |ax| \]という式を考えてみましょう。これが $x$ についての恒等式となるとき、 $a$ の値はいくつでしょうか。

もちろん、左辺と右辺が同じ形の式になるとき、つまり、 $a=1$ のときは恒等式になります。しかし、 $a=-1$ のときはどうでしょう。この場合も恒等式です。 $|-x|=|x|$ が成り立つからです。

このように、「恒等式だから、見た目が同じがはずだ」と考えるのは間違いです。整式の場合には成り立ちますが、一般的に成り立つ話ではありません。そのため、係数比較もいつでもできるわけではありません。

おわりに

ここでは、与えられた等式が恒等式になるようにする方法を見てきました。整式であれば、両辺の係数を比較することで、恒等式にすることができます。係数比較はいろんなところで出てくるので、覚えておきましょう。

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対象者: 数学II
分野: 式と証明
トピック: 等式と不等式の証明
レベル: 基本
キーワード: 係数比較, 恒等式
更新日:2017/05/11