なかけんの数学ノート

【基本】恒等式と数値代入

ここでは、与えられた式が恒等式になるようにするには、どうすればいいかを考えます。「数値代入」という方法を使って考えていきます。

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係数比較法の復習

例題
次の式\[ x^3=ax(x-1)(x-2)+bx(x-1)+cx+d \]が x についての恒等式になるとき、定数 a, b, c, d の値を求めなさい。

【基本】恒等式と係数比較で見たように、両辺の係数が同じになるようにすればいいですね。

右辺を展開すると次のようになります。
\begin{eqnarray}
& &
ax(x-1)(x-2)+bx(x-1)+cx+d \\
&=&
ax^3-3ax^2+2ax +bx^2-bx +cx+d \\
&=&
ax^3+(-3a+b)x^2 +(2a-b+c)x +d \\
\end{eqnarray}これが左辺の $x^3$ と一致するように、係数比較をすればいいですね。

まず、 $x^3$ の項から、 $a=1$ が得られます。次に、 $x^2$ の項から $-3a+b=0$ なので、 $b=3$ が得られます。 $x$ の項から $2a-b+c=0$ がわかるので、 $c=1$ となり、定数項から $d=0$ が得られます。

こうして、すべての定数が求められます。

数値代入法

上のようにして、与えられた式が恒等式になるようにすることができます。ただ、この問題はもう一つ解き方があります。

恒等式とは、そもそも「変数にどんな値を入れても成り立つ式」のことでした。そのため、具体的に値を入れてみましょう。

\[ x^3=ax(x-1)(x-2)+bx(x-1)+cx+d \]の式に、例えば $x=0$ を代入してみます。恒等式になるなら、このときも等式が成り立たないといけません。 $x=0$ とすると、$x$ を含む部分が消えて $0=d$ だけが残ります。つまり、恒等式になるなら、 $d=0$ しかありえない、ということです。

次に、 $x=1$ としてみましょう。すると、 $x-1$ の部分が消えて、 $1=c$ が得られます。また、 $x=2$ とすると、\[ 8=2b+2c \]が得られるので、 $b=3$ となります。また、$x=3$ とすると\[ 27=6a+6b+3c \]だから、 $a=1$ となります。

こうして、 $a=1$, $b=3$, $c=1$, $d=0$ が得られます。しかし、ここで終わりではありません。というのも、ここまでの解き方では、単に「 $x=0,1,2,3$ のときに成り立つ」という条件しか考えていないからです。これ以外のすべての値で、与えられた式が成り立つかどうか、つまり、ちゃんと恒等式になっているかどうかを確かめなければいけません。

そのためにはどうするかというと、求めた定数を代入してみて、与えられた式の両辺が一致することを確かめます。得られた値を元の式の右辺に代入してみると
\begin{eqnarray}
& &
ax(x-1)(x-2)+bx(x-1)+cx+d \\
&=&
x(x-1)(x-2)+3x(x-1)+x+0 \\
&=&
x^3-3x^2+2x +3x^2-3x +x \\
&=&
x^3
\end{eqnarray}となり、左辺と一致するため、確かに恒等式であると言えます。なので、 $a=1$, $b=3$, $c=1$, $d=0$ のときに与えられた式は恒等式になります。

このように、「恒等式となるとき、定数の値を求めなさい」という問題に対して、具体的に値を代入してから条件を導き出す方法を、数値代入法と呼ぶことがあります。解き方の手順はこうです。

  1. 変数に適当な値を代入し、定数に関する条件を求める
  2. 得られた条件から、定数の値を求める
  3. 定数の値を代入して、元の式が恒等式になるか確かめる

最後のステップは重要です。これがないと、「たまたまいくつかの値で成り立つ式」なのか「恒等式」なのかわかりません。そのため、最後がない解答は、大きく減点されることになります。

一方、係数比較によって求める場合は、最後に「恒等式であること」のチェックはありませんでした。それは、この解き方は「係数が同じになるように定数を求める」ものだからです。係数が同じになるようにしたんだから、恒等式になるのは当たり前ですね。

おわりに

ここでは、「与えられた式が恒等式になるような、定数を求める問題」を数値代入によって解く方法を見ました。係数比較で解く方法とは異なり、最後に「恒等式になること」のチェックが必要な点に注意しましょう。

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対象者: 数学II
分野: 式と証明
トピック: 等式と不等式の証明
レベル: 基本
キーワード: 恒等式
更新日:2017/06/20