なかけんの数学ノート

【基本】円の方程式(一般形)

ここでは、円の方程式の一般形について見ていきます。通る点はわかっているけど、中心がわからない場合などで使います。

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円の方程式(一般形)

【基本】円の方程式で見た「円の方程式」を展開して、すべてを左辺に持ってくると
\begin{eqnarray}
(x-a)^2+(y-b)^2 &=& r^2 \\[5pt]
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+y^2-r^2 &=& 0 \\[5pt]
x^2-2ax+y^2-2by+(a^2+b^2-r^2) &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。

【基本】直線の方程式(一般形)で見たように、 x, y の一次方程式は直線を表しました。これと比較しながら考えると、「円の方程式」と「xy の項がなく、二次の係数が等しい二次方程式」が対応するのではないか、と予想できます。

この予想は部分的に正しいのですが、正解ではありません。以下のように、一般的な形\[ x^2+y^2+lx+my+n=0 \]で考えてみましょう。

円を表しているなら、中心の座標が知りたいですね。先ほどの計算を逆にたどっていけば、平方完成をすればいいんだな、と予想できます(参考:【標準】平方完成のやり方)。計算すると
\begin{eqnarray}
\left(x+\frac{l}{2}\right)^2+\left(y+\frac{m}{2}\right)^2=\frac{l^2+m^2-4n}{4}
\end{eqnarray}となります。この右辺が半径の2乗になっているはずですが、右辺は常に正とは限りません。負のときは、この等式を満たす $(x,y)$ はありません。 $0$ のときは、 $(x,y)=(a,b)$ となり、1点だけを表します。そして、正のときだけ、円を表します。

つまり、いつも「円の方程式」を表すとは限らない、ということです。係数によって、1点を表したり、満たす点が無かったりします。

ただ、「円の方程式」なら上のような式になることは、正しいです。展開して左辺にすべてを移行した後の式を、円の方程式の一般形といいます。

円の方程式(一般形)
次の式を円の方程式の一般形という。\[ x^2+y^2+lx+my+n=0 \]ただし、 $l^2+m^2-4n\gt 0$ とする。

円の方程式を求める問題

例題
3点 $(0,0)$, $(1,2)$, $(-3,-4)$ を頂点とする三角形の、外接円の方程式を求めなさい。

外接円とは、【基本】三角形の外心で見た通り、三角形の頂点をすべて通る円のことです。各辺の垂直二等分線の交点が外接円の中心となり、その点を外心というのでしたね。

外接円の方程式、となっていますが、円の方程式を求めればOKです。【標準】座標を使って三角形の外心を考えるで使った考え方から、各辺の垂直二等分線の交点(=円の中心)を求めて、半径を求めて、円の方程式を求める、という方法でも解けます。

ただ、中心の座標がわかっていなくても、円の方程式は、上で見た一般形になることがわかっているのだから、これを使うことができます。こちらのほうが計算は楽でしょう。

求める円の方程式を\[ x^2+y^2+lx+my+n=0 \]とおきます。原点を通るから、 $n=0$ です。また、 $(1,2)$ を通るので
\begin{eqnarray}
1^2+2^2+l+2m &=& 0 \\
l+2m &=& -5 \\
\end{eqnarray}となります。

$(-3,-4)$ を通ることから
\begin{eqnarray}
(-3)^2+(-4)^2-3l-4m &=& 0 \\
3l+4m &=& 25 \\
\end{eqnarray}となります。

1つ目の式を2倍して2つ目の式から引くと\[ l=35 \]となり、これと1つ目の条件式から \[ m=-20 \]となります。これから、求める方程式は\[ x^2+y^2+35x-20y=0 \]となることがわかります。

分からない文字が3つありますが、通る点が3つ分かれば、円の方程式を求めることができますね。

中心と半径を文字で置いて、基本形から、連立方程式を作る方法もあります。ただ、この方法でも最終的には展開しないといけません。それなら、はじめから(展開した形である)一般形で考える方が早いです。

おわりに

ここでは、円の方程式の一般形について見てきました。また、中心の座標がわからない状況で、円の方程式を求めるときに一般形が使えることを見ました。どちらも使えるようになっておきましょう。

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対象者: 数学II
分野: 図形と方程式
トピック: 図形と方程式
レベル: 基本
キーワード: 外接円, 円の方程式
更新日:2017/08/05