【基本】関数

これから二次関数について学んでいきますが、その前に「関数」についての用語などをまとめていきたいと思います。「二次関数」は「二次の関数」なので、まずは関数について見ていこう、ということですね。

「関数」に関する用語などはこれからも基本知識として必要になってくるので、覚えておくようにしましょう。

関数

若い人たちはあまり知らないかもしれませんが、「X JAPAN」というロックバンドがいます。このバンドのボーカルToshlは年齢を公開していますが、ドラムのYOSHIKIは年齢を非公開にしています。しかし、二人は幼馴染です。

ということは、Toshlの年齢がわかれば、自動的にYOSHIKIの年齢もわかる、ということなんですね。

このように、ある値が決まると、別のある値が決まるものを関数といいます。もう少し数学的な表現を使うと、次のようになります。

二つの変数x, yに対し、xを決めたときに、yがただ一つに決まるとき、
yx関数(function)という

上の例でいえば、YOSHIKIの年齢はToshlの年齢の関数、ということができます。

yxの関数」であることを、 $y=f(x)$ と表現することが多々あります。このfはfunctionの頭文字ですね。

上の例でいれば、Toshlの年齢をx、YOSHIKIの年齢をyとすると、 $y=x$ なので、関数で書くと $f(x)=x$ という形になります。

関数が複数ある時は、f以外にgやhが使われることもあります。おいおい、慣れていきましょう。

関数の値

上の例でいれば、「Toshlの年齢が40のときは、YOSHIKIの年齢も40だな」とわかるわけですね。

このように、関数があれば、数字を代入することがあります。このとき、関数 $y=f(x)$ に対して $x=a$ を代入したものは、 $f(a)$ と書きます。これを「 $x=a$ のときの $f(x)$ の値」や「 $x=a$ における $f(x)$ の値」などと言います。

例えば、 $f(x)=2x+1$ のとき、 $x=1$ のときの値は、\[ f(1)=2\cdot 1+1=3 \]となります。

xには、別の文字を入れることもできます。例えば $x=a-1$ のときの値は\[ f(a-1)=2(a-1)+1 =2a-1 \]となります。

定義域と値域

関数 $y=f(x)$ に対して、xyのとれる範囲が限られている場合があります。例えば、xが年齢を表しているときには、0以上しかありえないですね。上限をどう設定するかは場合によりますが。

このように、xの動ける範囲が一部分だけのこともあるので、この範囲を指す言葉があったほうが便利です。この「xがとり得る値の範囲」のことを、この関数の定義域(domain)といいます。

また、これに対応して、「xが動くときに、yがとり得る値の範囲」のことを、この関数の値域(ちいき、range)と呼びます。

例えば、 $y=x$ という関数で、定義域が $x\geqq 0$ なら 値域も $y\geqq 0$ となります。

定義域と値域については、練習問題を解くためには必要な知識が他にもいくつかあるので、本格的な問題はまだ出てきません。ここでは、「xの動く範囲が定義域、yの動く範囲が値域」ということだけおさえておきましょう。

まとめ

ここでは、関数の定義や表し方、定義域と値域について見てきました。今後もよく出てくるものなので、自然と覚えていくと思います。