【基本】円の方程式

ここでは、円の方程式について見ていきます。

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円の方程式

図形の問題では、三角形や平行四辺形がよく出ていました。このような問題に対し、座標を使えば、それぞれの辺は直線の方程式を使って考えることができます。計算で考えていくことができるわけですね。

図形の問題で他によく出てくるものとして、円があります。この円を方程式で扱っていくことを考えてみましょう。

「円」とは何だったか、改めて考えてみると、こうですね:「中心からの距離が一定である点の集まり」。なので、この円を方程式で表すには、少なくとも、中心の座標と半径が必要です。

中心の座標を $\mathrm{ C }(a,b)$ とし、半径を $r(\gt 0)$ とします。この円の上にある点 $\mathrm{ P }(x,y)$ について、 x, y の間に成り立つ関係式を考えてみましょう。

といっても、そんなに難しくはありません。条件は、 CP との距離が r ということなので、三平方の定理から\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]となります。

円周上の点の座標は上の方程式を満たし、逆に上の方程式を満たしていればこの円周の上にあることがわかります。よって、この方程式は円を表している、といえます。この方程式を、円の方程式と言います。

円の方程式
中心が $\mathrm{ C }(a,b)$ で、半径が r の円の方程式は、次で表される。\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]

この形は、円の方程式の基本形と呼ばれることがあります。式に円の中心の情報が入っているので、中心に関することがわかっている場合はこの式をよく使います。

なお、中心が原点のときは\[ x^2+y^2=r^2 \]となります。この形もよく出てきます。

円の方程式を求める問題

例題
次の円の方程式を求めなさい。

(1) 中心が $(2,3)$ で半径が $4$ の円
(2) 中心が $(-2,-3)$ で原点を通る円
(3) $(2,3),(3,2)$ の2点を直径とする円

(1) は、先ほどの式にそのまま入れれば終わりです。\[ (x-2)^2+(y-3)^2=16 \]となります。答えるときは、展開をする必要はありません。この形で答えて構いません。

(2) は、中心の情報がありますが、半径の情報がありません。しかし、中心と通る点が分かっているのだから、ここから半径が出せますね。半径の2乗が\[ (-2)^2+(-3)^2=13 \]となることから、円の方程式は\[ (x+2)^2+(y+3)^2=13 \]となります。

(3)は、中心の情報も半径の情報もありません。しかし、直径の両端の点の座標が分かっているから、この中点が円の中心になります。中心の座標は\[ \left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right) \]となりますね。さらに、直径の長さは\[
\sqrt{(3-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2} \]だから、半径は $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となります。以上から、円の方程式は\[ \left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{1}{2} \]となります。

円の中心と半径さえわかれば、円の方程式を出すことができます。

おわりに

ここでは、円の方程式について見てきました。三平方の定理から来ていることを考えれば、式を理解するのはそれほど難しくはないでしょう。