【基本】楕円の焦点(焦点がy軸上)

ここでは、楕円の焦点が y 軸上であった場合に、楕円の方程式がどうなるかを見てみます。

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焦点がy軸上にある楕円

例題
2点 $(0,-p)$, $(0,p)$ からの距離の和が $2b$ となる点の軌跡を求めなさい。ただし、 $b\gt p \gt 0$ とします。

【基本】楕円の焦点(焦点がx軸上)と似た設定ですが、少し文字が違います。ただ、計算はほとんど同じなので、簡略化してみていくことにします。

まず、条件を式で書くとこうなります。\[ \sqrt{x^2+(y+p)^2}+\sqrt{x^2+(y-p)^2}=2b \]$\sqrt{x^2+(y-p)^2}$ を移行し、2乗して整理すると\[ b^2-py = b\sqrt{x^2+(y-p)^2} \]となります。さらに2乗して整理すると\[ b^2x^2+(b^2-p^2)y^2=b^2(b^2-p^2) \]となります。ここで、 $b^2\gt p^2$ なので、 $a=\sqrt{b^2-p^2}$ とおけば、上の式は
\begin{eqnarray}
b^2x^2+a^2y^2 &=& b^2a^2 \\[5pt] \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} &=& 1
\end{eqnarray}となります。【基本】楕円の焦点(焦点がx軸上)で見た式と同じ式ですね。このリンク先で見たようにすれば、この式を満たすすべての点が、条件を満たすことがわかります。よって、これが求める軌跡です。

$a=\sqrt{b^2-p^2}$ とおいたので、 $p=\sqrt{b^2-a^2}$ です。これを使えば、焦点の座標もわかるので、以下のことが言えます。

楕円の焦点
$b\gt a \gt 0$ のとき、 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ のグラフは、 $(0,-\sqrt{b^2-a^2})$, $(0,\sqrt{b^2-a^2})$ の2点を焦点とする楕円となる。

長軸の長さは $2b$, 短軸の長さは $2a$ となります。また、楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は $2b$ となります。

楕円の方程式のまとめ

【基本】楕円の焦点(焦点がx軸上)で見た内容と上の内容から、 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ は楕円の方程式となります。 $a\gt b \gt 0$ なら横長の、 $b\gt a \gt 0$ なら縦長の楕円となります。

a, b のどちらが大きいときにどちらに長いんだっけ?」というのは、特に覚えておく必要はありません。頂点を考えればすぐにわかるからです。

例えば、 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ の場合なら、 $x=0$ とすると $y=\pm3$ で、 $y=0$ とすると $x=\pm 2$ となります。このことから、上下に長いんだな、ということがわかりますね。

また、「2つの焦点からの距離の和は、長軸の長さと一致する」こともわかりますが、これもとくに覚える必要はありません。「楕円は、2つの焦点からの距離の和が一定となる点が集まったものだ」ということさえわかっていれば、特別な点を使えばいいんですね。長軸の両端で考えればうまくいきます。

上は $a\gt b$ のときです。2つの焦点からの距離の和とは、上の図で $F_2A_2+F_1A_2$ です。ただ、対称性から $A_2F_2=A_1F_1$ なので、この和は、 $A_1F_1+F_1A_2$ と一致する、つまり、 $A_1A_2$ と一致します。よって、図から、「2つの焦点からの距離の和は、長軸の長さと一致する」ことがわかります。

焦点の座標がわからなくなった場合も、特別な点を使って思い出すことができます。短軸の両端の点を使いましょう。

三角形 $OB_1F_1$ を考えます。これは直角三角形で、斜辺は長軸の半分ですね(2つの焦点からの距離の和は、長軸の長さと一致するから)。また、残りの1辺の長さは短軸の長さの半分です。よって、図から、中心から焦点までの距離は、「長軸の半分の2乗 引く 短軸の半分の2乗」のルートだとわかりますね。

ここでの説明は証明にはなっていませんが、思い出すために使うことは可能です。忘れてしまったときのために、どうすれば思い出せるかを覚えておくと、役に立つでしょう。

おわりに

ここでは、焦点が y 軸上にあるときの楕円の方程式について見た後、楕円の方程式に関するまとめをおこないました。方程式からどのような楕円なのか、わかるようになっておきましょう。