【基本】楕円の焦点（具体例）

🕒 2018/04/05 🔄 2023/05/01

ここでは、ある2点からの距離の和が一定となる点の軌跡を見ていきます。

📘 目次

ある2点からの距離の和が一定

例題

2点 $(-3,0)$, $(3,0)$ からの距離の和が $10$ となる点の軌跡を求めなさい。

点 $(x,y)$ が条件を満たすとすると
\begin{eqnarray} \sqrt{(x+3)^2+y^2}+\sqrt{(x-3)^2+y^2} &=& 10 \\[5pt] \sqrt{(x+3)^2+y^2} &=& 10-\sqrt{(x-3)^2+y^2} \quad \cdots (A) \end{eqnarray}となります。 $\sqrt{(x-3)^2+y^2}$ を移行して両辺を2乗すると \begin{eqnarray} (x+3)^2+y^2 &=& 100-20\sqrt{(x-3)^2+y^2}+(x-3)^2+y^2 \\[5pt] 12x &=& 100-20\sqrt{(x-3)^2+y^2} \\[5pt] 25-3x &=& 5\sqrt{(x-3)^2+y^2} \quad \cdots (B) \end{eqnarray}となります。さらに2乗すると \begin{eqnarray} 625-150x+9x^2 &=& 25(x-3)^2+25y^2 \\[5pt] 625-150x+9x^2 &=& 25x^2-150x+225+25y^2 \\[5pt] 400 &=& 16x^2+25y^2 \end{eqnarray}となります。両辺を $400$ で割れば \begin{eqnarray} \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} &=& 1 \quad \cdots (*) \end{eqnarray}となります。

逆に、この式(*) を満たせば、条件を満たすことを確認しましょう。上の式変形を逆にたどっていけば、まず $(B)$ の部分で2乗しています。しかし、式(*)を満たしていれば、 $|x|\leqq 5$ だから、 $(B)$ の両辺は正であることがわかります。

また、さらに逆にたどっていくと、 $(A)$ の部分でも2乗しています。式(*)を満たしていれば、 $|x|\leqq 5$, $|y|\leqq 4$ だから、 $(A)$ の右辺のルートの部分は
\begin{eqnarray} & & \sqrt{(x-3)^2+y^2} \\[5pt] &\leqq& \sqrt{x^2-6x+9+4^2} \\[5pt] &\leqq& \sqrt{5^2+6\cdot 5+25} \\[5pt] &\leqq& \sqrt{80} \\[5pt] &\lt& 10 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $(A)$ の両辺も正であることがわかります。

以上から、式を逆にたどっていくことができるので、求める軌跡は\[ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} = 1 \]を満たす点全体、となります。

具体的に図形をかくと、次のようになります。