【基本】導関数

ここでは、微分係数とグラフの関係を少し見た後で、導関数の紹介をしていきます。

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微分係数とグラフの関係について

【基本】微分係数【基本】極限値と微分係数で、微分係数について見ました。平均変化率で、 x の変化幅を限りなく $0$ に近づけたものですね。式で書くと、 $f(x)$ の $x=a$ での微分係数は次のような式でした。\[ \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

さて、こうした微分係数をなぜ考え出すようになったかというと、【導入】微分を考える意味についてで見たように、三次関数のグラフをかくのに必要だったからですね。リンク先では、 $y=2x^3-x$ のグラフを考えていました。

このグラフは、 $(-1,-1)$, $(0,0)$, $(1,1)$ を通りますが、この3点を滑らかに直接つなげてはいけないんでしたね。本当は山や谷があるので、それを気付かずに無視してしまうと、グラフの概形が変わってしまいます。

では、微分係数を導入すれば、グラフの形についてどういうことがわかるかを見てみましょう。

$f(x)=2x^3-x$ とし、この関数の $x=0$ での微分係数を見てみましょう。定義から、次のように計算できます。
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0}\frac{\{ 2(0+h)^3-(0+h) \}-0}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0}\frac{2h^3-h}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0} (2h^2-1) \\[5pt] &=&
-1
\end{eqnarray}となります。これは、 $0$ から $h$ まで(もしくは、 $h$ から $0$ まで)の平均変化率が、区間が狭くなっていくにつれて $-1$ に近づいていく、ということです。マイナスの値なので、少なくとも原点付近では「 x が増えるたびに y は減る」ということがいえます。つまり、下の図の赤い部分のような変化になる、ということがわかります。

原点には、左上から入ってきて、右下へ出ていくというわけです。 $(-1,-1)$ から右上に行って、いったん右下に行ってから原点を通り、さらに右下に抜けてから、途中で右上に方向転換して $(1,1)$ に行く、ということがわかります。これがわかれば、少なくとも、「 $(-1,-1)$, $(0,0)$, $(1,1)$ を直接つなげてしまう」といった間違いはしなくなります。

ただ、このやり方は、たまたま原点の微分係数を調べたからわかっただけですね。たまたま注目した点がよかったからいいものの、山や谷が他の場所にあったら、こうはうまくいってなかったかもしれません。

つまり、1点だけではなく、本当は、すべての点における微分係数を調べないといけません

導関数

「えー、すべての点における微分係数ってどうやって調べるんだよ、無限個あるじゃん」といいたくなるところですが、大丈夫です。一気に計算できる方法はあります。

$f(x)=2x^3-x$ の $x=a$ での微分係数を考えてみましょう。定義にそって計算すると
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0}\frac{\{ 2(a+h)^3-(a+h) \}-(2a^3-a)}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0}\frac{2a^3 +6a^2h +6ah^2 +2h^3 -a-h -2a^3+a}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0}\frac{6a^2h +6ah^2 +2h^3-h}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0} (6a^2 +6ah +2h^2-1) \\[5pt] &=&
6a^2-1
\end{eqnarray}となります。

この結果から、 $f(x)=2x^3-x$ の $x=a$ での微分係数は、 a を使って、 $6a^2-1$ と書けます。 a を決めれば、それに応じて値が決まるため、関数となっています。この関数には、導関数(derivative function / derivative) という名前がついていて、 $f'(x)$ で表します。つまり、上の計算結果は\[ f'(x)=6x^2-1 \]と表されます。

導関数
関数 $f(x)$ に対し、\[ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]が存在するとき、この関数を $f(x)$ の導関数と呼び、 $f'(x)$ で表す。

導関数を表す記号は他にもいろいろあるのですが、ここでは、 $f'(x)$ の記号を使うことにします。また、 $f(x)$ から、導関数 $f'(x)$ を求めることを、「 $f(x)$ を微分する」といいます。

冒頭で見た内容から考えると、この導関数を調べれば、関数のグラフをかくときに役立つことが予想できますね。導関数を使ってグラフをかく方法は、今後見ていくことにしましょう。

おわりに

ここでは、グラフをかくために必要な導関数について見てきました。 $x=a$ に対して、その点での微分係数 $f'(a)$ を対応させた「新しい関数」のことを導関数というのでした。今後、よく出てくるのできちんと覚えておきましょう。