【基本】整式の導関数

ここでは、整式の導関数の性質について見ていきます。

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定数倍の導関数

【基本】導関数で見たような導関数を、いくつか具体的に見てみましょう。なお、「導関数を求める」ことを「微分する」ともいいます。

$f(x)=2x^3$ の導関数を求めてみましょう(「 $f(x)$ を微分する」と同じ意味です)。定義通りに計算すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0}\frac{2(x+h)^3-2x^2}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0}2\times \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0} 2(3x^2+3xh+h^2) \\[5pt] &=&
2\times 3x^2 \\[5pt] &=&
6x^2
\end{eqnarray}これをよく見ると、 $x^3$ の前にあった $2$ は、 $x^3$ を微分してから掛けても同じですね。一般的に、定数倍の導関数については次のような性質があります。

定数倍の導関数
$k$ を定数とし、 $f(x)$ を整式とする。
このとき、 $kf(x)$ の導関数は、 $kf'(x)$ となる。

定数というのは、 x の値によって変わらない数、ということです。また、整式とは、【基本】整式とそれに関連する用語で見たように、文字や数を足したり掛けたりしたものです。

和の導関数

次に、$f(x)=x^2+x+1$ の導関数を求めてみましょう。定義通りに計算すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0}\frac{\{(x+h)^2+(x+h)+1\}-(x^2+x+1)}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0}\frac{(x^2+2xh+h^2-x^2)+(x+h-x)+(1-1)}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0} (2x+h+1) \\[5pt] &=&
2x+1 \\[5pt] \end{eqnarray}これをよく見ると、 $x^2+x$ の導関数は、それぞれを微分してから足しても同じです。一般的に、和の導関数については次のような性質があります。

和の導関数
$f(x),g(x)$ を整式とする。
このとき、 $f(x)+g(x)$ の導関数は、 $f'(x)+g'(x)$ となる。

このことから、整式の導関数は、各項の導関数を足せばよく、定数倍の導関数で見た内容から、 $x^n$ の導関数( n は自然数)が分かれば、整式の導関数が求められる、ということがわかります。

それでは、 $x^n$ の導関数を求めてみましょう。

xのn乗の導関数

さて、 $x^n$ の導関数ですが、よく見ると、上の計算の一部に表れています。

まず、$x^2+x+1$ の導関数が $2x+1$ になったことと、どこからこれらが出てきたかをたどっていけば、

  • $x^2$ の導関数が $2x$
  • $x$ の導関数が $1$
  • $1$ の導関数が $0$

であることがわかります。また、 $x^3$ の導関数は、はじめの例から $3x^2$ となります。

これらをよく見て、共通点を探してみましょう。まず、 $x^n$ を微分すると、 $n$ の部分が前に出てきていますね。微分した後の係数は、微分する前の $x$ の右上に数になっていることがわかります。では、何乗の部分が微分の後でどうなっているかを見ると、 $1$ 減っていますね。定数のときはなくなって $0$ となっています。

これらのことから、 $x^n$ の導関数は、 $nx^{n-1}$ となるのではないか、と予想できます。この予想は正しいのですが、証明は少し難しいので別の機会で取り上げることにします。ここでは、とりあえず、3乗までの導関数を具体的に計算した上の結果を理解しておきましょう。

$x^n$ の導関数
$x^n$ (n は自然数) の導関数は、 $nx^{n-1}$ となる。
また、定数の導関数は $0$ となる。

ここまでの結果を使うと、 $y=x^3-x^2-x+1$ の導関数は
\begin{eqnarray}
y’
&=&
(x^3)’ -(x^2)’ -(x)’+(1)’ \\[5pt] &=&
3x^2 -2x -1 \\[5pt] \end{eqnarray}と計算できます。慣れてくれば、1行目の右辺は省略しても構いません。

おわりに

ここでは、整式の導関数について見てきました。定数倍や和の導関数から、結局、整式の導関数というのは、 $x^n$ の導関数が分かればいい、ということにたどりつきます。また、この導関数は、 $nx^{n-1}$ となることから、整式の導関数が求められます。

一般の n 乗の場合の証明はしていませんが、3乗以下の場合には、具体的に計算して求められることをおさえておきましょう。