【基本】微分と接線の方程式

ここでは、微分と接線の関係について見ていきます。

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微分係数の図形的な意味

【基本】微分係数で、次のような図を見ました。

この図は、 $y=x^2$ という関数に対して、 $(-1,1)$ と $(a,a^2)$ を直線で結び、 $a$ を $-1$ に近づけていったときを表しています。この直線の傾きが、 $x=-1$ での微分係数になるわけですね。微分係数の定義通りです。

この微分係数の値を計算するには、上のリンク先のように定義に基づいて計算する方法があります。ただ、 $x^2$ の導関数が $2x$ であることはすでに見た(参考:【基本】整式の導関数)ので、これに $x=-1$ を代入して、微分係数が $-2$ である、と求めても構いません。

上の図をよく見ると、青い線は $(-1,1)$ での接線に近づいているように見えますね。実際、そうなっているか確かめてみましょう。

青い線がどんな直線に近づいているかというと、上で求めた微分係数から、傾きが $-2$ で、 $(-1,1)$ を通る直線であるがわかります。よって、\[ y=-2x-1 \]に近づいていることがわかります。この直線と $y=x^2$ との交点は
\begin{eqnarray}
x^2 &=& -2x-1 \\[5pt] x^2+2x+1 &=& 0 \\[5pt] (x+1)^2 &=& 0 \\[5pt] x &=& -1 \\[5pt] \end{eqnarray}から、 $(-1,1)$ の1点だけであることがわかります。

このことから、放物線の場合は、放物線上の1点をとって固定し、別の点をとって2点を結び、2点の間隔を狭めていくと、接線に近づいていくことがわかります。そして、その傾きは、その点での微分係数と一致することもわかります。

新しい接線の定義

今まで、接線は、「放物線と接する直線」という場面(参考:【標準】二次関数のグラフと直線との共有点)と「円と接する直線」という場面で出てきました。どちらも、接線は「共有点が1つ」という特徴がありました。

しかし、この定義では、三次関数以上の場合に困ります。例えば、 $y=2x^3-x$ という関数を考えてみましょう。このグラフのかき方はまだきちんと紹介していませんが、次のようになります。

このとき、 $y=-1$ という直線を考えてみましょう。共有点は1つですが、「接している」という感じはしません。どちらかというと、交わっているという感じがします。

そこで、先ほどの微分を使った定義を使って、接線を定義します。つまり、上の関数のグラフで $(-1,-1)$ での接線というのを、これと $(a,2a^3-a)$ を結び、 $a\to -1$ としたときに近づいていく直線、と定義するわけです。

この方法であれば、放物線のときには、先ほど見たように、今までと同じように「共有点が1つだけ」の直線が得られますし、放物線ではないときも、今まで円や放物線で見た「接する」と似た性質のある直線が得られます。

これらのことから、以後、接線は、次のように定められたもの、と考えます。放物線のときの性質を見ながら、定義を拡張するわけですね。

接線
$f(x)$ を整式とするとき、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{ A }(a,f(a))$ におけるこの曲線の接線は、この点を通る、傾きが $f'(a)$ の直線である。

この定義に基づいて、先ほどの関数 $y=2x^3-x$ のグラフの $(-1,-1)$ での接線の方程式を求めてみましょう。この関数を微分すると
\begin{eqnarray}
y’
&=&
2\cdot 3x^2-1 \\[5pt] &=&
6x^2-1 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $x=-1$ での微分係数は $6-1=5$ です。これが傾きなので、これと通る点の座標を使えば、【基本】ある1点を通る直線の方程式の内容を参考にすると
\begin{eqnarray}
y-(-1) &=& 5\{x-(-1)\} \\[5pt] &=& 5(x+1)-1 \\[5pt] &=& 5x+4 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これが $(-1,-1)$ での接線の方程式です。

$(-1,-1)$ のまわりを見ると、確かに、放物線の接線のときのように接している感じがします。ここで注意が必要なのは、共有点が1点とは限らない、という点です。 $(-1,-1)$ のような点を接点といいますが、接点以外にも共有点を持つことがあります(上の例であれば、 $(2,14)$ がもう1つの共有点です。表示されていませんが)。それが放物線や円の接線と異なる部分です。

今までの内容をまとめれば、接線の方程式は次のように書けることがわかります。

接線の方程式
$f(x)$ を整式とするとき、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{ A }(a,f(a))$ におけるこの曲線の接線の方程式は、以下で表される。\[ y-f(a)=f'(a) (x-a) \]

おわりに

ここでは、微分を用いた接線の定義、接線の方程式を見ました。三次以上の関数のグラフでは、「共有点が1点」という条件では接線になりません。その点での微分係数と傾きが同じ、という条件になることをおさえておきましょう。