なかけんの数学ノート

【基本】二重根号の外し方

【導入】二重根号についてで、二重根号の紹介をしました。$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$ のように、「ルートの中にルートがある」というものでしたね。このページでは、基本的な「二重根号の外し方」を紹介していきます。

[広告]

二重根号を外すとは

二重根号について考える前に、「そもそもルートとは何だったか」を思い出してみましょう。例えば、$\sqrt{2}$というのは、「2乗したら2になる数」でしたね。こうなる数は2つありますが、そのうち正の数を $\sqrt{2}$ と呼ぶのでした。これと同じ発想で考えてみます。

例として、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$を二乗したらどうなるか、考えてみましょう。これを計算すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2
&=&
2+2\sqrt{6}+3 \\
&=&
5+2\sqrt{6} \\
\end{eqnarray}このように、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を2乗すれば $5+2\sqrt{6}$ になります。$\sqrt{2}$ のときと同じように考えれば、$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ということですね。このように、左辺から右辺に式変形をすることを「二重根号を外す」と言います。確かに、右辺では「ルートの中のルート」がなくなっていますね。

二重根号を外してみよう1

それでは、いよいよ例題を解きながら、二重根号の外し方を見ていきましょう。

【例題】
$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$ の二重根号を外して、簡単にせよ。

先ほどと同じように考えて、$\sqrt{p}+\sqrt{q}$ の二乗が $3+2\sqrt{2}$ となるものを求めてみましょう。
\begin{eqnarray}
(\sqrt{p}+\sqrt{q})^2
&=&
p+2\sqrt{pq}+q \\
&=&
(p+q)+2\sqrt{pq} \\
\end{eqnarray}なので、$p+q=3$ で$pq=2$ となるものを探します。因数分解をするときと同じように考えれば、$2,1$の組み合わせが見つかります。このことから、$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$ は $1+\sqrt{2}$ になることがわかります。これが答えです(実際、二乗すると同じ値になります)。

これを一般的に書くと、次のようになります。

【二重根号の外し方1】
$p,q \gt 0$のとき、
\[ \sqrt{ (p+q)+2\sqrt{pq} } = \sqrt{p}+\sqrt{q} \]

二重根号を外すというのは、上の式で、左辺から右辺に変形することです。$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$の場合は、足して3、掛けて2になるものを探しましたが、他の問題でも $\sqrt{\bigcirc+2\sqrt{\triangle}}$なら、「足して○、掛けて△」のものを探すことになります。

なお、ルートの中のルート($\sqrt{\triangle}$の部分)の前にある「2」はすごく重要です。ここが2でない場合は、少し式変形が必要になります。このことについては、【標準】二重根号の外し方で説明します。

[広告]

二重根号を外してみよう2

【例題】
$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ の二重根号を外して、簡単にせよ。

これは先ほどの問題とは違って、ルートの中のルート(ややこしいですが、$\sqrt{6}$のことです)の前がマイナスになっています。前の問題で使った式変形をよく見て、どこがマイナスにならないといけないかを考えてみましょう。

すると、$\sqrt{p}+\sqrt{q}$ではなく、$\sqrt{p}-\sqrt{q}$を二乗しないといけないことが分かるでしょう。$\sqrt{p}-\sqrt{q}$を二乗すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2
&=&
p-2\sqrt{pq}+q \\
&=&
(p+q)-2\sqrt{pq} \\
\end{eqnarray}

これが$5-2\sqrt{6}$になるためには、$p+q=5$ で $pq=6$となるものを探せばいいので、$3,2$の組み合わせであることがわかりますね。$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$の候補としては、$\sqrt{3}-\sqrt{2}$と$\sqrt{2}-\sqrt{3}$の2つがありますが、$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$は正なので、$\sqrt{3}-\sqrt{2}$が正解となります。

マイナスの場合は、一般的には次のように書くことができます。

【二重根号の外し方2】
$p \gt q \gt 0$のとき、
\[ \sqrt{ (p+q)-2\sqrt{pq} } = \sqrt{p}-\sqrt{q} \]

$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$の問題では、「足して5、掛けて6」の数字の組を探しました。符号に気を付ける必要はありますが、先ほどの問題(プラスのとき)とやることは共通していますね。

なお、ここでも、ルートの中のルート($\sqrt{pq}$の部分)の前にある「2」が重要です。ここが2でないときは、探す数字が変わってきます。

[広告]

まとめ

最後に、二重根号の外し方をまとめておきましょう。

【二重根号の外し方】
$\sqrt{ \bigcirc +2\sqrt{\triangle} }$ や $\sqrt{ \bigcirc -2\sqrt{\triangle} }$ は、足して○、掛けて△となる数字$p,q \ (p \gt q \gt 0)$を見つけて、次のように変形する。
\begin{eqnarray}
\sqrt{ \bigcirc +2\sqrt{\triangle} } = \sqrt{p}+\sqrt{q} \\
\sqrt{ \bigcirc -2\sqrt{\triangle} } = \sqrt{p}-\sqrt{q}
\end{eqnarray}

もし、$\sqrt{\triangle}$の前の数字が2でないときは、少し式変形が必要となります。その場合については、【標準】二重根号の外し方で取り上げます。

「足した答えと掛けた答え、どっちが○でどっちが△かわからなくなった」という場合には、上で解説したことを思い出しましょう。「$\sqrt{p}+\sqrt{q}$を二乗する」という考え方に立ち戻って考えてみると、和と積、○と△の対応の仕方がわかると思います。

[広告]
対象者: 数学I
分野: 数と式
トピック: 実数
レベル: 基本
キーワード: 二重根号
更新日:2016/10/12