【基本】三次式の展開

以前、【基本】展開の公式で二次式の展開について見ました。ここでは、三次式の場合では、式の展開がどうなるかを見ていきます。

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三次式の展開

今までに、 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ などの「2乗の展開」は計算したことがあるでしょう。3乗ならどうなるでしょうか。実際に計算してみると、次のようになります。

\begin{eqnarray}
(x+y)^3
&=&
(x+y)(x+y)(x+y) \\[5pt] &=&
(x+y)(x^2+2xy+y^2) \\[5pt] &=&
x(x^2+2xy+y^2) \\
& & +y(x^2+2xy+y^2)\\[5pt] &=&
x^3 +3x^2y+3xy^2+y^3
\end{eqnarray}分配法則を繰り返し用いて展開しています。2乗のときは係数に2が出てきましたが、3乗の場合には3となる係数が出てくるんですね。

なお、 $+y$ のところが $-y$ になったものは、上の式を利用して次のように求めることができます。
\begin{eqnarray}
(x-y)^3
&=&
x^3 +3x^2(-y)+3x(-y)^2+(-y)^3 \\[5pt] &=&
x^3 -3x^2y+3xy^2-y^3 \\
\end{eqnarray}符号が順番に変わっていることに注意しましょう。

また、2乗の場合には、 $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ という、2乗引く2乗の式もありましたが、この3乗バージョンもあります。少し複雑な式をしていますが、次の式を計算すると、3乗引く3乗の式が出てきます。
\begin{eqnarray}
(x-y)(x^2+xy+y^2)
&=&
x(x^2+xy+y^2) \\
& & -y(x^2+xy+y^2) \\[5pt] &=&
x^3+x^2y+xy^2 \\
& & -x^2y-xy^2-y^3 \\[5pt] &=&
x^3-y^3 \\[5pt] \end{eqnarray}元の式の1つ目は $x-y$ で、2つ目は $x^2+xy+y^2$ です。2つ目はどの項もプラスです。符号に注意しましょう。

さらに、2乗の場合にはなかったのですが、3乗の場合には、「3乗足す3乗」という式もあります。上の式で、 $y$ を $-y$ に置き換えてみると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\{x-(-y)\}\{x^2+x\cdot (-y)+(-y)^2\} &=& x^3-(-y)^3 \\[5pt] (x+y)(x^2-xy+y^2) &=& x^3+y^3 \\[5pt] \end{eqnarray}今度は、左辺の2つ目の部分に $x^2-xy+y^2$ とマイナスの項が出てきています。なのに、掛け合わせると「3乗足す3乗」になるのは少し不思議ですね。

これらの展開の式はよく使われるので、公式として覚えておくと便利です。

三次式の展開の公式
\begin{array}{l}
1. & (x+y)^3 = x^3 +3x^2y +3xy^2 +y^3 \\
2. & (x-y)^3 = x^3 -3x^2y +3xy^2 -y^3 \\[5pt] 3. & (x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 +y^3 \\
4. & (x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 -y^3 \\
\end{array}

2乗のときと比べて覚えにくく、符号も間違いやすい上、2乗のときほど使われないのですが、そのまま展開するよりはだいぶ早くなるはずです。計算問題を通じてマスターしましょう。

展開の公式を使った計算

上の公式を使って、いくつか計算をしてみましょう。

例題
次の式を展開しなさい。
(1) $(2x+3y)^3$
(2) $(3a-b)(9a^2+3ab+b^2)$

(1)は、上の公式の1つ目ですね。 $2x$ と $3y$ で置き換えて、次のように計算します。
\begin{eqnarray}
(2x+3y)^3
&=&
(2x)^3 +3(2x)^2 \cdot 3y +3\cdot 2x \cdot (3y)^2 +(3y)^3 \\[5pt] &=&
8x^3 +36x^2 y +54xy^2 +27y^3 \\[5pt] \end{eqnarray}

また、(2)は、少し気づきにくいですが、上の公式の4つ目です。 $3a$ と $b$ で置き換えて、次のように計算します。
\begin{eqnarray}
(3a-b)(9a^2+3ab+b^2)
&=&
(3a)^3-b^3 \\
&=&
27a^3-b^3 \\
\end{eqnarray}2つ目のカッコの中が
\begin{eqnarray}
(3a)^2 +3a\cdot b +b^2
\end{eqnarray}となっていることから、4つ目の公式が使える、ということに気づく必要があります。

おわりに

ここでは、三次式の展開について見てきました。4つの公式は、これからいろんなところでふとした時に出てくるので、いつでも使えるようにしておきましょう。