なかけんの数学ノート

【基本】三角比と三角形の面積

ここでは、 $\sin$ を使って三角形の面積を表す方法を見ていきます。

なお、 $\mathrm{ AB }=c$, $\mathrm{ BC }=a$, $\mathrm{ CA }=b$ と書き、角の大きさは $\angle \mathrm{ CAB }=A$, $\angle \mathrm{ ABC }=B$, $\angle \mathrm{ BCA }=C$ と書くことにします。

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sinを用いた三角形の面積

三角形の面積は、「底辺×高さ÷2」で表されることは小学校のときに習いましたね。実は三角形の面積というのは、高校数学でもいろいろな形でよく出てきます。ここでは三角比を使った表し方を見ていきます。

$\triangle \mathrm{ ABC }$ について、 C から AB に垂線をおろし、その足を H とします。すると、この三角形の面積 S は\[ \frac{1}{2}\mathrm{ AB }\cdot \mathrm{ CH } \]と書くことができます。

basic-area-of-triangle-using-sine-01

$\triangle \mathrm{ ACH }$ に注目して、この CH を三角比を用いて書いてみます。 A が鋭角のときは $b\sin A$ と書けます。直角のときは、 $\mathrm{ CH }=b$ であり、 $\sin A=1$ なので、このときも $b\sin A$ と書けます。鈍角のときは、 $b\sin (180^{\circ}-A)$ ですが、補角の公式から、これは $b\sin A$ と等しくなります。つまり、どの場合も、 $\mathrm{ CH }=b\sin A$ と書けることがわかります。

このことから、\[ S=\frac{1}{2}\mathrm{ AB }\cdot \mathrm{ CH }=\frac{1}{2}bc\sin A \]と表せることがわかります。同様にすれば、次のことがわかります。

三角比を用いた三角形の面積
$\triangle \mathrm{ ABC }$ の面積 S について、次が成り立つ。
\[ S=\frac{1}{2}bc\sin A =\frac{1}{2}ca\sin B =\frac{1}{2}ab\sin C \]

どの式でも、「2辺とその間の角」を使っています。

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例題

例題
$a=2\sqrt{2}$, $b=\sqrt{6}$, $C=30^{\circ}$ のとき、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の面積を求めなさい。

先ほどの公式にそのまま代入すれば求められます。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}ab\sin C
&=&
\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times\sqrt{6}\times\frac{1}{2} \\[5pt]
&=&
\sqrt{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。

おわりに

ここでは、三角比を用いた三角形の面積の表し方を見ました。やっていることは、小学校で学んだ「底辺×高さ÷2」と本質的に同じことですが、高さが $\sin$ を使って書ける点が新しいですね。公式を使うときは、2辺とその間の角という対応を意識するようにしましょう。

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対象者: 数学I
分野: 図形と計量
トピック: 三角比
レベル: 基本
キーワード: 三角形の面積, 面積, 三角比
更新日:2016/12/02