【基本】2曲線間の面積と積分

ここでは、2つの整式 $f(x),g(x)$ を使って、2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の間の部分の面積を、積分を使って求める方法を見ていきます。

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面積と積分の復習

【基本】面積と整式の不定積分で見た内容を、もう一度振り返ってみましょう。

整式 $f(x)$ が $a\leqq x \leqq b$ のときに $f(x)\geqq 0$ を満たすとします。このとき、 $F(x)=\int f(x)dx$ とすると、 $x=a$, $x=b$, $y=f(x)$, x 軸で囲まれた部分の面積 S は、次のように表されるのでした。\[ S=F(b)-F(a) \]

これは、 $F(x)$ がどう変化するかを見れば、理解できるのでしたね。詳しくは上のリンク先にかいていますが、超特急で振り返ってみましょう。 $x=c$ から $x=c+h$ に変化したときに変化する面積は、 h が $0$ に近づいていくにつれて、横が $h$ で縦が $f(c)$ の長方形に近づいていくのでした。

\[ \lim_{h\to 0}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=f(c) \]となることから、「面積は不定積分の1つだ」ということがわかります。これと、「 $b=a$ のときの面積は $0$ 」ということから、\[ S=F(b)-F(a) \]が得られるのでした。

この式の右辺は、定積分で書くことができますね。つまり、次のようにまとめることができます。

面積と整式の定積分
整式 $f(x)$ は、 $a\leqq x \leqq b$ で、 $f(x)\geqq 0$ であるとする。このとき、 $x=a$, $x=b$, $y=f(x)$, x 軸で囲まれた部分の面積 S について、次が成り立つ。\[ S=\int_a^b f(x)dx \]

ここで、「 $f(x)\geqq 0$ 」という条件は重要です。この条件を外すとどうなるかは今後すぐに見ていきますが、その前に、2曲線の間の面積について考えていきましょう。

2曲線間の面積と積分

2つの整式 $f(x),g(x)$ が、 $a\leqq x \leqq b$ で、 $f(x)\geqq g(x)$ であるとします。このとき、 $x=a$, $x=b$ と $y=f(x)$, $y=g(x)$ で囲まれている部分の面積について考えていきましょう。

先ほどの「x 軸とで囲まれた部分の面積」を応用すればうまくいきそうですね。つまり、「 $x=a$, $x=b$, $y=f(x)$, x 軸で囲まれた部分」から「 $x=a$, $x=b$, $y=g(x)$, x 軸で囲まれた部分」を引けばいいですね。

1つ注意点としては、「 $f(x)\geqq 0$, $g(x)\geqq 0$ 」が成り立つ場合でないと、上の性質は使えないということです。しかし、 x 軸より下の部分があっても、今の場合、問題をクリアすることができます。どちらも定数を足せばいいんですね。

つまり、もし、 x 軸より下の部分があれば、 $y=f(x)+k$ と $y=g(x)+k$ というように、両方を上にスライドすればいいわけです。こうすると、ともに x 軸より上にくるようにできます。

こうすれば、先ほどの性質が使える上、不要な k は以下の計算の通り、打ち消し合ってなくなります。
\begin{eqnarray}
S
&=&
\int_a^b (f(x)+k) dx -\int_a^b (g(x)+k) dx \\[5pt] &=&
\int_a^b \{ (f(x)+k)-(g(x)+k) \} dx \\[5pt] &=&
\int_a^b \{ f(x)-g(x) \} dx \\[5pt] \end{eqnarray}結果的に、きれいな式が得られました。この式では、「 $f(x)\geqq 0$, $g(x)\geqq 0$ 」という条件は不要ですが、かわりに「 $f(x)\geqq g(x)$ 」という条件が必要になります。

2つの曲線で囲まれた部分の面積(整式)
整式 $f(x),g(x)$ は、 $a\leqq x \leqq b$ で、 $f(x)\geqq g(x)$ であるとする。このとき、 $x=a$, $x=b$, $y=f(x)$, $y=g(x)$ で囲まれた部分の面積 S について、次が成り立つ。\[ S=\int_a^b \{ f(x)-g(x) \} dx \]

文字で言うと、「上から下を引いて、左から右まで積分」すると、囲まれた部分の面積が出てくる、ということです。具体的な計算については別のページで見ますが、注意しないといけない点としては、「(考えている区間で)どちらの関数が上で、どちらの関数が下か」がわからないといけない、ということです。つまり、グラフをかいて考えないといけない、ということですね。

おわりに

ここでは、2つの曲線で囲まれた部分の面積について見てきました。上の関数から下の関数を引いて積分をすれば求められる、ということで、面積と積分との関係を使う問題にこれからよく遭遇することになります。