なかけんの数学ノート

【基本】絶対値

ここでは、数の”大きさ”を表す「絶対値」について見ていきます。また、絶対値の説明の前に、数直線についても触れます。

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数直線

一般的に、説明するときには、「文字」を使うよりも「図」を使って説明したほうが都合がいいことが多いです。数の大小や順序を説明するときも同様で、「図」を使った方が説明しやすいことが多いんですね。そこで使われるのが、「数直線」です。

「数直線」と特別な名前はついていますが、そんなに難しいものではありません。下のようなものです。

basic-absolute-value-01

基準となる「0」があります。これを「原点」と呼びます。この直線上の1つ1つの点が、1つ1つの数字に対応している、と考えます。

右側に行くほど大きい数字、左に行くほど小さい数を表します。「右のほうが大きい」ことを示すために、右端に矢印を書きます。$b$ の方が大きいなら、bを表す点が右側にきます($b$ の方が大きいことを、「$a\lt b$」と書きます。)。

basic-absolute-value-02

また、数直線上の点Aに対応する数字がaのとき、$\mathrm{A}(a)$ と書きます。

どのような目盛りを入れるかは場合によって異なりますが、自分で書くときは、「数字」と「数直線上での位置関係」が対応するようにします。

絶対値

【導入】絶対値でも書いた通り、数字を扱うときに、「数字そのもの」ではなく「数字の大きさ」に着目したい場合があります。そのような場合に絶対値を使うことができます。

実数値の「絶対値」とは、次のように定義されます。左辺の「$|x|$」が「xの絶対値」を表します。
\begin{eqnarray}
| x |
=
\begin{cases}
x & ( x \geqq 0 ) \\
-x & ( x \lt 0 )
\end{cases}
\end{eqnarray}「0以上のときはそのまま、マイナスのときはマイナスを掛けてプラスにする」ということですね。ざっくりいうと、「絶対値とは、符号を取り除いたもの」と言うこともできます。

「絶対値」とは、数直線で言うと、「原点からの距離」にあたります。次の図は、距離が絶対値にあたることを、「0より小さい $a$」と「0より大きい $b$」に対して示したものです。

basic-absolute-value-03

絶対値の計算

絶対値の計算は、基本的には、マイナスを取り除いて計算するだけです。下に3つの例を挙げています。
\begin{eqnarray}
|3| &=& 3 \\[5pt]
|-3| &=& 3 \\[5pt]
\left|-\frac{1}{3} \right| &=& \frac{1}{3} \\
\end{eqnarray}

また、絶対値が複数ある場合は、内側から順番に計算していきます。
\begin{eqnarray}
\Big| |-1| – |-3| \Big|
&=&
| 1 – 3 | \\
&=&
| -2 | \\
&=&
2
\end{eqnarray}

ただ、「マイナスをとるだけ」ではダメなときもあります。その時は基本に立ち戻って、「マイナスの場合は、全体にマイナスを掛ける」と計算します。
\begin{eqnarray}
& &
|-1-\sqrt{2}| + |1-\sqrt{2}| \\
&=&
-(-1-\sqrt{2}) -(1-\sqrt{2}) \\
&=&
1+\sqrt{2} -1+\sqrt{2} \\
&=&
2\sqrt{2} \\
\end{eqnarray}

最後の計算からもわかる通り、絶対値がついている計算でやっかいなのは、「絶対値の中身が正か負かわかりにくいとき」なんですね。$1-\sqrt{2}$ が正か負かは、それまでに出てきた例に比べるとわかりづらいです。

今後は、絶対値の中に文字が含まれるケースも出てきます。そうすると、絶対値の中身が正か負か決まらない場合もあります。そのときは場合分けが必要になってくるため、この記事で紹介したよりも難易度が高くなります。

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対象者: 数学I
分野: 数と式
トピック: 実数
レベル: 基本
キーワード: 絶対値
更新日:2017/07/31